Методы решения логарифмических уравнений.
По определению логарифма;
• Метод потенцирования (освобождения от знака логарифма);
• Решение уравнений с использованием свойств логарифмов;
• Метод введения новой переменной;
• Логарифмирование уравнений;
• Другие методы (функционально-графический, метод приведения к одному основанию).
Рассмотрим каждый метод более подробно:
По определению логарифма.
По определению логарифма решаются простейшие уравнения вида .
.
Пример 1. Решить уравнение
Решение:
ОДЗ: ,
Используем определение логарифма:
,
,
.
Ответ: .
Пример 2. Решить уравнение ,
Решение: ,
ОДЗ: .
По определению логарифма:
,
,
,
.
Ответ: .
Метод потенцирования (освобождения от знака логарифма).
Решение логарифмического уравнения основано на том, что данное уравнение равносильно уравнению при дополнительных условиях
.
Пример 3. Решить уравнение
Решение:
ОДЗ: < .
Потенцируя получим:
Ответ:
Решение уравнений с использованием свойств логарифмов.
|
|
Пример 4. Решить уравнение
Решение:
ОДЗ: .
Вспомним свойства логарифмов – сумма логарифмов двух положительных чисел равна логарифму произведения этих чисел, поэтому:
Освободимся от знака логарифма и решим квадратное уравнение:
,
,
, .
Согласовав корни с ОДЗ, получим корень .
Ответ: .
Метод введения новой переменной.
Пример 5. Решить уравнение
Решение:
ОДЗ:
В данном уравнении повторяется выражение: . Значит можно выполнить замену переменной.
Пусть . Тогда уравнение примет вид
Возвратимся к исходной переменной. Остается решить простейшие логарифмические уравнения:
Ответ: .
При решении логарифмических уравнений, возможно появление посторонних корней. Причина их появления — расширение области определения исходного уравнения. Поэтому проверка корней логарифмического уравнения осуществляется либо по области определения, либо непосредственной подстановкой найденных корней в исходное логарифмическое уравнение.
Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическими.