Свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения

1. Если , то для нахождения вероятности попадания этой величины в заданный интервал  используется формула:

.                              (1.46)

Доказательство.

Действительно, по свойству функции распределения любой непрерывной случайной величины, и, используя формулу для вычисления функции распределения случайной величины (1.43), можно записать:

,

где .

Для односторонних и симметричных интервалов, используя формулу для вычисления функции распределения нормально распределенной случайной величины (1.43), можно вывести формулы:

;                         (1.47)

.                       (1.48)

2. Вероятность того, что отклонение случайной величины  от ее математического ожидания  не превысит величину  (по абсолютной величине), равна:

.                                      (1.49)

Доказательство.

Используя формулу (1.46) и свойство нечетности Лапласа, получим:

Рис. 22. Вероятность отклонения от среднего значений случайной величины Х, имеющей нормальный закон распределения

3. «Правило трех сигм».

Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале  (Вероятность «выброса» равна 0,0027).

Доказательство.

Используя формулу (1.49) и таблицу значений функции Лапласа (табл. 1 Приложений), получим:

Рис. 23. «Правило трех сигм» для случайной величины Х, имеющей нормальный закон распределения

«Правило трех сигм» позволяет, зная среднее квадратическое отклонение и математическое ожидание случайной величины, ориентировочно указать интервал ее практических значений.