Решение типовых задач

Дифференциальное уравнение го порядка имеет вид .

Если это уравнение решить относительно то оно может быть представлено в виде

Определение. Решением ДУ на интервале называется всякая функция , зависящая от произвольных постоянных и такая, что подстановка и ее производных в дифференциальное уравнение обращает последнее на интервале в тождество по .

Задача Коши: задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям , , …………. .

Теорема. Если функция непрерывна по совокупности аргументов, имеет непрерывные производные , , , …, в некоторой области, содержащей точку , то существует и притом единственное решение задачи Коши.

Определение. Пусть выполняются условия предыдущей теоремы.

Общим решением дифференциального уравнения в некоторой области существования и единственности решения задачи Коши называется функция , зависящая от переменной и постоянных , такая, что:

а) при любых допустимых значениях постоянных функция является решением уравнения;

б) при заданных начальных условиях постоянные всегда можно подобрать так, что функция будет удовлетворять этим условиям.

В процессе интегрирования дифференциального уравнения часто приходят к уравнению , неявно задающему общее решение уравнения. Уравнение называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных .

Уравнение , где некоторые значения постоянных называется частным интегралом дифференциального уравнения.

21.2.1. Уравнение вида Решение типовой задачи

21.2.1.1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Этот вид уравнений решается последовательным интегрированием:

Интегрируя по частям, находим общий интеграл:

21.2.2. Уравнение не содержит переменной в явном виде. Решение типовых задач

Уравнение вида Понижение порядка ДУ производится путем замены .

21.2.2.1. Решить уравнение .

Решение. В уравнении отсутствует неизвестная функция , поэтому порядок уравнения можно понизить путем замены , где – новая неизвестная функция. Тогда и уравнение примет вид . Это уравнение с разделяющимися переменными: