2020-06-29
67
20.4.1. 
20.4.2. 
20.4.3. 
20.4.4. 
20.4.5. 
20.4.6. 
Ответы. 20.4.1. 
. 20.4.2. 
20.4.3. 
20.4.4. 
20.4.5. 
. 20.4.6. 
ЧАСТЬ Б)
УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ.
УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Уравнения в полных дифференциалах. Решение типовых задач
Уравнение  (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции  , т.е.  , что имеет место, если  В этом случае  будет общим интегралом дифференциального уравнения (1).
Решение уравнения можно определить по формуле:  , где  произвольная точка области, в которой функции  непрерывны.
|
21.1.1. Решить уравнение 
Решение. Так как 
то исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдём функцию 
полный дифференциал которой 
был бы равен левой части уравнения, т.е. такую функцию 
что 
Интегрируем по 
первое из уравнений системы, считая 
постоянным; притом вместо постоянной интегрирования надо поставить 
– неизвестную функцию от 
: 
Подставляя это выражение для 
во второе уравнение системы, найдём :
Следовательно, 
и общее решение исходного уравнения будет иметь вид 
Иногда можно найти такую функцию 
, что 
будет полным дифференциалом, хотя 
может им не быть.
Такую функцию называют интегрирующим множителем.
Функция удовлетворяет условию 
Интегрирующий множитель легко находится в двух случаях:
1) 
, тогда 
;
2) 
, тогда 
.
21.1.2. Решить уравнение 
.
Решение. Здесь 
, 
, следовательно, 
. Так как 
, то в этом случае 
, или 
, откуда 
. Умножив уравнение на 
, получим уравнение в полных дифференциалах 
, общий интеграл которого имеет вид 
.
21.1.3. Решить уравнение 
, если 
.
Решение. Здесь 
; 
.
Имеем уравнение в полных дифференциалах. Воспользуемся формулой для общего решения 
, если 
.
где 
.
Решение уравнения имеет вид 
.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
