2020-06-29
99
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Линейные уравнения первого порядка. Решение типовых задач
Уравнение вида 
называется линейным.
Решение уравнение производится методом Бернулли. Представляем искомую функцию 
через произведение двух функций 
, на одну из которых накладываем определённое условие.
20.1.1. Решить уравнение 
Решение. Перепишем уравнение в виде: 
Сделаем замену 
Подставив в уравнение, получим: 
На переменную 
накладываем условие: 
Разделяя переменные, имеем: 
.
Тогда от решаемого уравнения останется 
, откуда находим, что 
Окончательный ответ: 
Некоторые уравнения становятся линейными, если поменять местами искомую функцию и независимую переменную.
Например, уравнение 
в котором 
является функцией от 
– нелинейное. Запишем его в дифференциалах: 
Так как в это уравнение и 
входят линейно, то уравнение будет линейным, если считать искомой функцией, а 
независимым переменным. Это уравнение может быть записано в виде 
и решается аналогично уравнению 20.1.1.
20.1.2. Решить уравнение 
Решение. 
, 
и 
функции от переменной 
Имеем
Ответ: 
20.1.3. Решить уравнение 
Решение. Разделим уравнение на 
:
.
Это линейное уравнение относительно функции 
.
.
Откуда, получим 
.
Тогда 
.
Откуда 
.
При делении на потеряны корни 
, которые не могут быть получены из общего решения ни при каких значениях 
.
Ответ: 
, .
Задачи для самостоятельного решения
20.2.1. 
20.2.2. 
20.2.3. 
20.2.4. 
20.2.5. 
20.2.6. 
Ответы. 20.2.1. 
20.2.2. 
20.2.3. 
20.2.4. 
20.2.5. 
20.2.6. 
Уравнение Бернулли. Решение типовых задач
Чтобы решить уравнение Бернулли, которое имеет вид 
, надо обе его части разделить на 
и сделать замену 
После замены получается линейное уравнение, которое можно решить изложенным выше способом. Уравнение Бернулли можно также решать, как и линейное, заменой 
20.3.1. Решить уравнение 
Решение. Разделим уравнение на 
Получим 
.
Далее произведём замену 
После замены получим линейное уравнение 
, решая которое получим: 
Находим 
. После обратной замены получим 
20.3.2. Решить уравнение 
Решение. Подставляя 
в исходное уравнение, получим 
или 
.
Выберем в качестве решение уравнения 
Тогда для получим уравнение 
. Общее решение уравнения исходного уравнения Бернулли равно 
.
Задачи для самостоятельного решения
Для части А)
