2020-06-29
65
21.3.1. 
21.3.2. 
21.3.3. 
21.4.4. 
21.3.5. 
21.3.6. 
. 21.3.7. 
.
21.3.8. 
. 21.3.9. 
. 21.3.10. 
. 21.3.11. 
. 21.3.12. 
.
Ответы. 21.3.1. 
21.3.2. 
21.3.3. 
21.3.4. 
21.3.5. 
21.3.6 
21.3.7. 
21.3.8. 
21.3.9. 
21.3.10. 
21.3.11. 
21.3.12. 
ЧАСТЬ В)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
22.1. Уравнение не содержит переменных 
. Решение типовой задачи
Уравнение вида 
Понижение порядка ДУ производится путем замены 
. Порядок уравнения понизится на 
единиц.
22.1.1. Найти общее решение уравнения 
Решение. Делаем подстановку 
Получено уравнение первого порядка с разделяющимися переменными 
или 
откуда 
и, следовательно, 
откуда находим общее решение заданного уравнения: 
22.2. Уравнение не содержит явно переменной 
. Решение типовых задач
Уравнение вида 
Примем за независимую переменную 
Уравнение решается подстановками: 
и т.д. Порядок уравнения понизится на единицу.
22.2.1. Решить уравнение 
Решение. Уравнение не содержит независимого переменного 
Полагаем 
получим уравнение 
или 
Это линейное уравнение первого порядка относительно 
полагая 
где 
и 
– функции от 
найдём: 
или 
и, следовательно, 
Таким образом, 
или 
откуда
, или, окончательно, 
22.2.2. Решить уравнение 
Решение. Полагаем 
получим уравнение
. Тогда 
решение уравнения. Далее 
.
.
Ответ: 
22.2.3. Решить уравнение 
; 
.
Решение. Полагаем 
получим уравнение Бернулли
.
Учитывая начальные условия 
, получим 
. Тогда
С учетом начального условия 
, находим 
и 
Ответ: 
22.2.4. Решить уравнение 
.
Решение. Полагаем 
, тогда 
и 
, следовательно 
.
Тогда 
и 
; 
.
а) если 
, запишем 
, тогда
.
б) если 
, запишем 
, тогда
.
в) если 
, то
.
Ответ: ; 
при ; 
при 
; 
при . Здесь 
.
22.2.5. Решить уравнение 
.
Решение. Полагаем 
, тогда 
. С учетом начального условия 
, получим, что 
. Тогда 
. С учетом начального условия 
, получим, что 
. Ответ: 
.
Задачи для самостоятельного решения
ЧАСТЬ В)
ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ
22.3.1. 
. 22.3.2. 
; 
.
22.3.3. 
; 
, 
. 22.3.4. 
; 
, 
.
22.3.5. 
.
Ответы. 22.3.1. 
. 22.3.2. 
. 22.3.3. 
. 22.3.4. 
. 22.3.5. 
.
