Решение иррационального уравнения

Пример. Решить уравнение:

Решение

ОДЗ:

Перепишем уравнение:

Возводим в квадрат, чтобы избавиться от корня. При этом помним, что могут возникнуть посторонние корни. Поэтому нужно не забыть в конце подставить полученные решения в исходное уравнение:

Тогда:

Откуда:

Выполняем подстановку и проверяем, что корень входит в ОДЗ:

Проверяем, что корень не является посторонним:

Ответ: .

Чтобы закрепить решение кубических уравнений, решим иррациональное уравнение, сводящееся к кубическому.

Задание 5. Решить уравнение:

Решение

ОДЗ:

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня. При этом помним, что могут возникнуть посторонние корни. Поэтому нужно не забыть в конце подставить полученные решения в исходное уравнение:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Перенесем слагаемые из правой части в левую:

Приведем подобные слагаемые:

Ищем корни среди делителей числа . Их достаточно много:

Для удобства начинаем проверять с меньших значений:

Таким образом, является корнем данного уравнения. Разделим в столбик:

Уравнение приобретает вид:

Тогда:

Выполним подстановку. При :

Верное равенство.

При :

Равенство неверное, не является корнем исходного уравнения.

При :

Верное равенство.

Ответ: .

Системы уравнений

Перейдем к системам уравнений. Для их решения есть несколько стандартных методов:

1. метод подстановки;

2. метод домножения и сложения.

О них шла речь в соответствующих уроках. Эти методы достаточно универсальны, но в некоторых случаях систему можно решить более простым способом.

Задание 6. Решить систему уравнений:

Решение

Данную систему можно решить методом подстановки, выразив, к примеру, из второго уравнения через . Если вам интересен этот способ решения, можете ознакомиться с ним ниже.