Решение системы методом подстановки

Во втором уравнении выразим через :

, т. к. иначе .

Подставим полученное выражение в первое уравнение системы:

Решим первое уравнение системы. Перенесем слагаемое из правой части в левую:

Умножим обе части уравнения на :

Введем замену:

Получим:

По теореме Виета:

Тогда:

Вернемся к замене:

Откуда:

Т. к. , получаем следующие пары решений:

Ответ: .

Однако существует и другой способ решения подобных систем. Такие системы называются симметричными, ведь если мы поменяем местами и , то уравнения системы не изменятся:

Понятно, что если пара чисел является решением такой системы, то и пара чисел также будет являться решением системы. Этот факт можно использовать для самоконтроля после получения ответа.

В симметричных системах удобно выполнить следующую замену:

Тогда второе уравнение примет вид:

Как выразить сумму квадратов чисел, зная их сумму и произведение, мы также уже знаем. Подобный метод мы применяли в задачах на вычисление значений выражений, содержащих корни квадратного уравнения, используя теорему Виета:

Раскроем скобки в левой части уравнения:

Произведение заменяем на и переносим в правую часть:

Получим систему:

Решим ее методом подстановки:

Возвращаемся к замене:

Теперь, как в теореме Виета, подбираем числа:

Ответ: .

Обратите внимание: применяя теорему Виета, мы искали значения одной переменной. И там нам был не важен порядок, в котором мы укажем эти значения. Здесь же мы ищем значения двух переменных. Поэтому, подобрав числа, нам нужно отдельно записать варианты: когда одно из них , другое и наоборот.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал fizmat.by (Источник)

2. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)

3. Интернет-портал math-prosto.ru (Источник)