Математическая постановка задачи синтеза облика всеазимутальной РН

Предположим, что объект проектирования, - всеазимутальная РН с требуемой точностью описывается вектором проектно-баллистических параметров  размерности n. Для удобства дальнейшей работы составляющие вектора Х систематизируем в соответствии со структурной схемой РН, представив их в виде векторов проектно-баллистических параметров КРБ первой ступени: Х 1, второй ступени: Х 2  и полезной нагрузки (КГЧ): Х пн.

 Каждый из вышеперечисленных векторов можно декомпозировать по структурно-функциональному признаку на ряд составляющих, которые, в частности для КРБ первой ступени, включают:

 -вектор геометрических параметров , определяющий форму, расположение, размеры, характерные площади и объемы КРБ и его составных частей;

 -вектор массово-центровочных параметров , характеризующий массу конструкции КРБ в целом, его систем, агрегатов, запасов топлива и газов, а также положение их центров масс в базовой системе координат;

-вектор параметров ДУ  включающий физико-химические характеристики используемых компонентов топлива (плотность, температура кипения, массовое соотношение), пустотную тягу и удельный импульс, площадь среза сопла, диапазон регулирования по тяге, углы качания, ограничения по продолжительности работы, импульс последействия, циклограммы работы на переходных режимах;

-вектор аэродинамических параметров  включающий совокупность характерных размеров (длины и площади) и аэродинамических коэффициентов, задаваемых в виде функций от угла атаки и числа Маха. В простейшем случае, например, при моделировании пассивного участка полета головного обтекателя составляющие вектора аэродинамических параметров ограничены всего двумя характеристиками-константами: площадью миделя  и осредненным значением коэффициента силы лобового сопротивления .

Полет всеазимутальной РН, являющейся динамической системой, описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями:

,                        (2.1)

 где - вектор фазовых переменных (координат) размерности m. Размерность вектора Z определяется требованиями к степени детализации модели исследуемого ЛА. Так, например, при исследовании вопросов динамики движения КРБ, представляющего собой материальную точку переменной массы, в процессе его пробега по ВПП, размерность вектора Z (с учетом уравнения времени и расхода массы) ограничена 4. Исследование пространственного движения центра масс ЛА в полете потребует увеличения размерности вектора фазовых переменных до 8, а анализ вопросов динамики переходных процессов, связанных с моделированием движения относительно центра масс приведет к увеличению размерности до 14.

Предполагается, что правые части уравнения (2.1) определены для всех конечных значений Z на интервале , а вектор-функция f непрерывно дифференцируема по всем аргументам, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.

Переход системы из начального положения в конечное, задаваемых соответственно векторами начальных  и конечных  граничных условий, обеспечивается путем управляющих воздействий, осуществляемых элементами конструкции ЛА, например, аэродинамическими поверхностями, или двигательной установкой и представляющих в совокупности вектор управления. Вектор управления  размерности p, принадлежит к классу кусочно-непрерывных функций вида u(t), что соответствует допущению об использовании безынерционной т.е. “идеальной” системы управления.

Приближение характеристик математической модели исследуемого ЛА к характеристикам создаваемого «реального» объекта обеспечивается введением физической области существования множества технически-реализуемых вариантов проекта , границы которой определяются уравнениями связи, например, условием статической балансировки ЛА относительно центра масс и ограничениями, налагаемыми на возможные вариации значений векторов проектно-баллистических параметров , управления , фазовых переменных и представляемых в виде вектора расчетных ограничений размерности t, включающего:

-вектор расчетных нагрузок конструкции , регламентирующий расчетные случаи нагружения, необходимые для проведения весового проектирования и содержащий: предельные величины продольной перегрузки на участке выведения и нормальной перегрузки на участке маневра возврата ; аэродинамической нагрузки на участках выведения и автономного полета КРБ (); удельных тепловых потоков в расчетных точках , определяемых характеристиками используемых конструкционных материалов; а также требования директивных документов устанавливающих обязательный уровень прочности и коэффициенты безопасности конструкции ЛА и эксплуатационные требования со стороны полезной нагрузки;

- вектор расчетных нагрузок системы управления , определяющий условия допустимого управления, т.е. область изменения программных функций: режимов работы ДУ () и градиентов изменения тяги на переходных режимах ; углов и скорости изменения углов атаки и крена, в первую очередь, на участке маневра возврата, лимитируемых мощностью управляющих органов (рулевых двигателей, приводов аэродинамических органов управления, сопел РСУ); требования со стороны аэродинамики по устойчивости и управляемости, например, ограничения по баффтингу лимитирующие предельную величину на трансзвуке, границы зоны путевой неустойчивости по углу атаки на гиперзвуковых скоростях; наличие перекрестных связей между каналами системы управления, ограничивающее максимальные скорости изменения углов атаки и крена (). Последнее ограничение затрудняет использование на участке маневра возврата КРБ т.н. «релейных» программ управления, получаемых в процессе решения вариационных задач и предусматривающих скачкообразное изменение («перекладку») угла крена в процессе наведения в расчетную точку пространства;

- вектор расчетных ограничений фазовых переменных , составляющие которого определяются характеристиками выбранной математической модели и расчетным комплексом условий и допущений, например, ограничения вида: , в соответствии с которым ЛА не должен летать под землей, упрощения типа , используемые при моделировании квазистационарного режима полета итд.

 Принятие проектного решения на этапе синтеза облика всеазимутальной РН обеспечивается путем получения и анализа интегральной количественной оценки проекта: критерия эффективности , обеспечивающего выбор рационального варианта из множества альтернатив.

Таким образом, задача синтеза облика всеазимутальной РН формулируется в следующей постановке. В классе допустимых на интервале  фазовых переменных Z, функций управления  и вектора проектно-баллистических параметров , удовлетворяющих связям и граничным условиям , , необходимо определить такие фазовые переменные Z, проектно-баллистические параметры X и функции управления U, при которых критерий оптимальности W достигает экстремального значения при наличии ограничений R:

.                (2.2)

Сформулированная задача относится к классу многопараметрических задач оптимизации, процесс решения которой включает две взаимосвязанные задачи: статическую - оптимизацию составляющих вектора проектно-баллистических параметров и динамическую - определение оптимальных программ управления, что позволяет рассматривать ее в общей постановке как вариационную задачу оптимального проектирования, основанную на решении многоточечной краевой задачи, соответствующей физическим принципам всеазимутальной РН, штатная схема полета которой представляет собой разветвляющуюся траекторию выведения.