Производная сложной функции

ЛЕКЦИЯ: «ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ»

Определение производной

Определение производной. Пусть задана функция , и пусть - некоторая точка интервала . Предел

называется производной функции в точке и обозначается (если последний предел существует). Таким образом, по определению,

Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция , , имеющая в каждой точке интервала производную, называется дифференцируемой на этом интервале. Операция нахождения производной данной функции называется дифференцированием.

Обозначение производной функции :

Если ввести приращение аргумента и приращение функции , определение производной запишется в виде

Так как - произвольное значение аргумента, то можно обозначить его как x. Тогда получаем

Пример:

Дана функция , найдите её производную.

Решение.

а) , ,

б)

в)

Таким образом, .

Производная суммы, разности, произведения и частного функций

Теорема 1. Если функции и дифференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале

т.е. производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций.

Теорема 2. Если функции и дифференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. , где - дифференцируемая функция.

Теорема 3. Если функции и дифференцируемы на некотором интервале и для любого x из этого интервала, то

Производные некоторых элементарных функций

1. 9.

2. 10.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

7. 15.

8. 16.

Пример: Найдите производную функции

Решение. По теореме 1 и следствию из теоремы 2 получаем:

Пример: Найдите производную функции

Решение. По теореме 3 получаем:

Производная сложной функции

Пусть задана сложная функция , т.е. такая, что её можно представить в виде:

или . В выражении переменная u называется промежуточным аргументом.

Теорема. Если функция имеет в некоторой точке x производную , а функция имеет при соответствующем значении u производную , то сложная функция в указанной точке x также имеет производную, которая равна

где вместо u должно быть подставлено выражение .

Коротко,

т.е. производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Пример: Дана функция . Найдите .