Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной

Пусть заданы две прямые в виде с угловым коэффициентом и , где - угловые коэффициенты данных прямых; - углы, образованные прямыми с положительным направлением оси Ox.

Тогда тангенс угла между двумя прямыми, отсчитанного против часовой стрелки от прямой до прямой вычисляется по формуле:

Из формулы следуют условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:

1) прямые параллельны, т.е. ; таким образом, если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.

2) прямые перпендикулярны, т.е. .

Геометрический смысл производной: Если кривая задана уравнением , то , где - угол, образованный касательной к кривой в точке с абсциссой с положительным направлением оси Ox.

Пример 1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой

Решение. Найдём производную . Тогда угловой коэффициент касательной равен .

Ответ: 3.

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания.

Уравнение нормали к графику функции в точке имеет вид:

Пример 2. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке его пересечения с осью ординат.

Решение. Уравнение касательной записывается в виде:

где - точка касания. Абсцисса , а ордината .

Найдём производную заданной функции в точке :

; .

Искомое уравнение касательной имеет вид:

, или .

Ответ: .

Механический смысл производной: Если при прямолинейном движении точки задан закон движения , то скорость движения в момент есть производная пути по времени .

Пример 3. Материальная точка движется прямолинейно по закону . Через сколько времени после начала движения точка остановится? Найдите путь, пройденный точкой до остановки.

Решение. В момент остановки скорость точки равна нулю. Находим . Решаем уравнение , т.е. . Таким образом, после начала движения точка остановится через с. Путь, пройденный точкой до остановки, составит м.