Определение квадратного неравенства

Определение: Квадратное неравенство – это неравенство вида:

В случае если a=0, мы получаем линейное неравенство.

Вспомним терминологию.

x - независимая переменная. Необходимо найти множество всех x, при которых неравенство выполняется.

a, b, c – конкретные числа, параметры;

квадратный трехчлен;

квадратичная функция.

Решение квадратного неравенства целиком основано на свойствах квадратичной функции.

Решение квадратного неравенства, когда трехчлен не имеет корней

Например: Решить неравенства:

Рассмотрим функцию Построим и прочтем ее график.

Графиком квадратичной функции является парабола, шаблон – парабола сдвинутая относительно начала координат.

Определим координаты вершины.

Схематически изобразим график функции. Ветви параболы направлены вверх, т.к. .

Теперь прочтем полученный график.

Функция определена при . Основное свойство данной функции заключается в том, что при всех Более того,

Ответ:

Мы рассмотрели случай, когда график функции не пересекает ось o x.

Решение квадратного неравенства, когда трехчлен имеет один корень

Например:

Рассмотрим функцию:

Найдем корни квадратного трехчлена:

D=8-8=0, значит

Схематически построим график функции:

Корень x=1;

графиком является парабола, значит ветви направлены вверх.

Прочитаем график.

На промежутке функция положительна. На промежутке функция также положительна. При

Ответ:

Мы рассмотрели случай, когда кривая касается оси o x в одной точке.

Решение квадратного неравенства, когда трехчлен имеет два корня

Например:

Найдем корни квадратного трехчлена: Воспользуемся теоремой Виета.

Схематически изобразим график функции:

Это парабола, ветви направлены вверх, т.к.

Прочитаем график. На промежутке функция положительна.

На промежутке функция отрицательна.

В точках пересечения с осью O x функция равна нулю.

Ответ: