Решение совокупностей уравнений с одной переменной

Совокупности уравнений с одной переменной чаще всего встречаются при решении модульных уравнений и, как уже выше говорилось, обозначают, что каждое решение необходимо включить в ответ, если нет других ограничений.

Задача 1. Решить систему уравнений методом подстановки и проверить графически:

Решение: 1. Решим систему:

2. Изобразим графически, для этого выразим "у" через "х" в обоих уравнениях:

Изобразив уравнения графически видим, что решение выполнено верно.

Ответ: (2; -2).

Задача 2. Решить систему уравнений методом алгебраического сложения и проверить графически:

Решение: 1. Решим систему:

2. Изобразим графически заданные уравнения, для этого преобразуем их:

После преобразования видим, что необходимо начертить параболу (квадратная функция) и прямую (линейная функция). Точки их пересечения и будут решениями системы.

По графику видим, что решение верно.

Ответ: (0; 5); (3; -4).

Задача 3. Сколько действительных корней имеет уравнение:

Решение: Чтобы ответить на вопрос примера, не нужно решать это уравнение, достаточно преобразовать его в две функции и изобразить их на координатной плоскости, количество точек пересечения графиков и будет нужным ответом:

После преобразования видим, что график первой функции – это график функции:
у = √ х, параллельно сдвинутый влево на одну единицу и вверх на две; а график второй функции – это гипербола: у = -1/ х, параллельно сдвинутый на две единицы влево и на две единицы вверх.

Даже примерного изображения этих графиков достаточно, чтобы понять, что пересекаться они ни когда не будут, следовательно, исходное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: 0.

Задача 4. Рассмотрим решение совокупности уравнений на примере решения модульного уравнения:

Из решения видно, что нужно взять в ответ все ответы, учитывая ограничения к каждому.

Ответ: {-4}υ[4;+∞).

 

Более подробно можно посмотреть: Богомолов, Н.В.Математика: учебник для СПО / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Изд-во Юрайт, 2019. — 401 с. — (Серия: Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-07878-7. — Текст: электронный // ЭБС Юрайт [сайт]. — URL: https://www.biblio-online.ru/bcode/433286.