Смысл каждого элемента, который входит в уравнение касательной:
1) ( – точка касания касательной и графика функции.
2) – угловой коэффициент касательной к графику функции.
3) – произвольная точка на касательной.
Очень много задач, когда задана точка, которая не лежит на графике функции, и через нее надо провести касательную к данной функции. Надо четко понимать, что – это произвольная точка на касательной.
Итак, получили уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента этой касательной, и теперь приведем пример, и на нем изложим методику построения касательной.
Алгоритм составления уравнения касательной
К графику функции
Задача
К кривой в точке с абсциссой провести касательную.
Рис. Касательная к графику функции .
Зафиксируем точку . Значение функции в этой точке равно 1.
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции:
1) Найдем и точку касания:
– дано.
Точка касания: (; .
|
|
2) Найдем производную в любой точке .
.
3) Найдем значение производной в точке с абсциссой .
.
4) Запишем и проанализируем уравнение касательной.
.
Упрощаем и получаем уравнение: .
Ответ: .
Касательная к графику тригонометрической функции
Дана функция . Написать уравнение касательной к данной кривой в точке с данной абсциссой.
Нахождение точки касания.
1. Точка касания имеет координаты .
2. Найдем .
3. Найдем
4. Запишем уравнение касательной:
.
5. Упростим полученное уравнение: .
Заметим в точке синусоида и касательная соприкасаются. В районе точки синусоида и прямая почти не различаются.
Решение задач, сопутствующих данной теме
Задача 1
Пусть дано уравнение касательной .
Найти точки пересечения касательной с осями координат.
Решение:
Если , то . – это первая точка.
Если , то . – вторая точка.
Итак, первая точка – это точка с координатами .
Вторая точка – точка пересечения с осью , точка с координатами :
Задача 2
Найти длину отрезка касательной, которая отсекается осями координат, то есть надо найти длину отрезка .
Решение:
Рассмотрим прямоугольный треугольник (Рис. выше):
Длина катета равна 1.
Длина катета .
Длину отрезка из прямоугольного треугольника найдем по теореме Пифагора:
Ответ: АВ=√5/2
Задача 3
Найти площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.
Решение:
Ясно, что это площадь треугольника (Рис.выше) – площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.
Ответ: S∆АОВ=1/4
Итак, мы вывели уравнение касательной. Рассмотрели все элементы этой касательной. Выяснили их смысл. Сформулировали одну из методик нахождения касательных в конкретных функциях, в конкретных точках и решили некоторые сопутствующие задачи.
|
|
Домашнее задание по вопросу 2:
Найти радиус окружности, вписанной в треугольник (см. рис. к задаче 1).
Радиус окружности, описанной около треугольника .
Вопрос 3 (представленные формулы и теоремы - выучить):
Определение производной функции:
Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
Теоремы о производных:
1. Производная суммы:
.
2. Производная от произведения:
.