Физический смысл производной

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t).

Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени [t₀; t₀+ ∆t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, то есть

Vср = ∆x/∆t.

Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0 и получим мгновенную скорость в момент времени t₀:

lim Vср (t) = n(t₀).

∆t → 0

Из определения производной, предел – это отношение приращения аргумента к приращению времени (в данной физической задаче): ∆x/∆t = x'(t₀).

Итак,

n(t) =x'(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y=f(x) в точке x₀ – это скорость изменения функции f (х) в точке x₀ _.

Производная применяется в физике:

- для нахождения скорости по известной функции координаты от времени,

- для нахождения ускорения по известной функции скорости от времени.

u(t) = x'(t) - скорость,

a(f) = n'(t) - ускорение, или a(t) = x"(t).

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:

φ = φ(t) – изменение угла от времени,

ω = φ'(t) – угловая скорость,

ε = φ'(t) – угловое ускорение, или ε = φ"(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) – масса,

x Î [0; l],l – длина стержня,

р = m'(х) – линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний.

Так, по закону Гука:

F = -kx,

где x – переменная координата,

k – коэффициент упругости пружины.

Приняв ω²=k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника:

х"(t) + ω²x(t) = 0,

где ω = √k/√m – частота колебаний (l/c),

k – жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у" + ω²y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных).

Решением таких уравнений является функция

у = Asin(ωt + φ₀) или у = Acos(ωt + φ₀),

где А – амплитуда колебаний,

ω – циклическая частота,

φ₀ – начальная фаза.

Вопрос 2. Уравнение касательной

К графику функции

Нахождение производных необходимо в разных задачах, в том числе и в составлении уравнения касательной.

Построим кривую (см. рис.1).

Рис. 1. График функции .

Зафиксируем точку . Если , то значение функции равно . Значит, имеем точку с координатами

Задача: составить уравнение касательной. Более строгая формулировка – написать уравнение касательной к функции в точке с абсциссой , в которой – существует.