Тема 5. Плотность распределения и ее свойства

Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины (помимо функции распределения) является плотность распределения вероятностей.

Определение. Плотностью распределения вероятностей (плотностью распределения или просто плотностью) непрерывной случайной величины называется производная ее функции распределения.

Обозначение: f (x) или (p (x)).

Таким образом, по определению  (3.6).

Функцию f (x) называют также дифференциальной функцией распределения. Она является одной из форм закона распределения случайной величины и существует только для НСВ.

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1) f (x) неотрицательна, то есть f (x)≥0.

2) Вероятность попадания НСВ X в промежуток [ a,b ] равна определенному интегралу от ее плотности в пределах от a до b, то есть  (3.7).

3) Функция распределения F (x) НСВ выражается через плотность вероятности формулой: F (x)=  

4) Несобственный интеграл от плотности н.с.в. на промежутке (- ∞,+∞) равен единице: .

5) Для непрерывной случайной величины Х вероятность того, что Х примет одно определённое значение x ₀, равна нулю: .

График плотности f (x) называется кривой распределения.

Тема 6. Числовые характеристики НСВ.

Определение. Математическим ожиданием НСВ X с плотностью f (x), называется число, определяемое равенством: M (X) =  (3.10).

На практике НСВ имеет конкретные границы своих возможных значений, поэтому несобственный интеграл заменяется определенным в пределах от а до b.

Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и с.в. X. Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно является средним значением случайной величины.

Для характеристики степени разбросанности значений случайной величины относительно среднего значения (математического ожидания) вводится понятие дисперсии.