Напишите развернутый конспект урока на тему «Деление обыкновенных дробей»

Индукция и дедукция. Покажите различия их использования в младших и старших классах средней школы на примере изучения свойств арифметических действий в 5 – 6 классах и свойств степени в 7 классе.

Индукция (от лат. inductio - наведение), переход от единичного знания об отдельных предметах данного класса к общему выводу о всех предметах данного класса; один из методов познания. Основой индукции являются данные, полученные путём наблюдения и эксперимента. Индуктивные рассуждения занимают важное место в научных исследованиях, включающих в себя как обязательный этап накопление опытных данных, выступающих основанием для последующего обобщения в форме классификаций, научных гипотез и др. Однако для построения научные теории только индуктивных обобщений недостаточно, т. к. сделанные путём индуктивного умозаключения выводы часто оказываются ложными после открытия новых фактов. Применение индукция ограничено и тем, что полученные в ходе индуктивного умозаключения выводы сами по себе не являются необходимыми, поэтому индуктивный метод познания должен дополняться дедукцией, сравнением и т. д.

Различают полную индукцию (когда вывод делается в результате изучения всех без исключения предметов данного класса) и неполную индукция (общий вывод делается на основе рассмотрения лишь нескольких, часто далеко не всех явлений данного рода). Поскольку обычно исчерпать всё конкретное многообразие фактов практически невозможно, в реальном процессе познания используется неполная индукция. Вывод по неполной индукции всегда носит характер вероятного знания. Достоверность выводов по неполной индукции повышается при подборе достаточно большого количества случаев, в отношении которых строится индуктивное обобщение, причём факты, из которых делается вывод, должны быть разнообразными, отражающими не случайные, но существ, признаки изучаемого явления. Соблюдение этих условий позволит избежать таких распространённых в практике обучения ошибок, как поспешность выводов, смешение простой последовательности каких-либо явлений с причинно-следственными отношениями между ними и др.

Индукция широко применяется в школьном обучении. Многие учебные тексты и объяснения учителя строятся по индуктивному типу. Например, при разъяснении понятия об удельном весе берутся разные вещества в равных объёмах и взвешиваются. Различный вес этих веществ позволяет выдвинуть общее положение об отношении между весом вещества и его объёмом, т. е. понятие об удельном весе.

Это пример неполной индукции (берутся не все, а только некоторые вещества). Как и в науке, в школьном обучении чаще всего применяется именно неполная индукция. Наиболее, широко индукция применяется в т. н. опытных науках и соответствующих им учебных предметах. В младших классах, когда дети имеют ещё небольшой объём знаний о мире, знакомство с различными фактами из жизни природы и общества полезно, т. к. обогащает опыт ребёнка, способствует развитию умения наблюдать и анализировать изучаемые явления. Эти фактические знания служат базой для усвоения обобщающих положений. В старших классах к индукции прибегают в тех случаях, когда нужно показать общую закономерность для всех явлений какой-то группы, но доказательства этого положения предложить учащимся ещё нельзя. Применение индукция в обучении позволяет сделать обобщающий вывод очевидным, убедительным, вытекающим из рассмотренных фактов и потому доказательным для учащихся. Эту важную особенность индукции подчёркивали многие педагоги. Так, Н. Ф. Бунаков писал об изучении грамматики: "Индуктивный метод... исходит от конкретных фактов, то есть от самого языка как объекта изучения, от его разнообразных естественных явлений, прежде всего, пользуясь наблюдательностью учеников, обращая её на явления языка, к познанию его форм, к раскрытию их значения, затем направляют их мысль к сравнению, классификации и обобщению"

Итак, при использовании индуктивного метода обучения деятельность преподавателя и учащихся протекает следующим образом:

Преподаватель	Учащийся
1 вариант	2 вариант
Излагает вначале факты, демонстрирует опыты, наглядные пособия, организует выполнения упражнений, постепенно подводя учащихся к обобщениям, определению понятий, формулированию законов.	Усваивают вначале частные факты, затем делают выводы и обобщения частного характера.
2 варианты	2 вариант
Ставит перед учащимися проблемные задания, требующие самостоятельных рассуждений от частных положений к более общим, к выводам и обобщения.	Самостоятельно размышляют над фактами и делают доступные выводы и обобщения.

Слабость индуктивного метода обучения состоит в том, что они требуют большего времени на изучение нового материала, чем дедуктивные. Они в меньшей мере способствуют развитию абстрактного мышления, так как опираются на конкретные факты, опыты и другие данные.

Индукцию нельзя превращать в универсальный метод в обучении. В соответствии с современными тенденциями к увеличению в учебных программах сведений теоретического характера и с введением в практику соответствующих им методов обучения проблемного типа возрастает роль других логических форм представления учебного материала, прежде всего дедукции, а также аналогии, гипотезы и др.

Индуктивное изучение темы особенно полезно в тех случаях, когда материал носит, преимущественно, фактический характер или связан с формированием понятий, смысл которых может стать ясным лишь в ходе индуктивных рассуждений. Широко применимы индуктивные методы для изучения технических устройств и выполнения практических заданий.

индуктивный дедуктивный школьный обучение

Дедукция (от лат. deductio - выведение), переход от общего знания о предметах данного класса к единичному (частному) знанию об отдельном предмете класса; один из методов познания. Дедуктивные умозаключения можно использовать для предвидения на основе общих закономерностей ещё не наступивших фактов, в обосновании, доказательстве тех или иных положений, а также при проверке намечаемых предположений, гипотез. Благодаря дедукции в науке были сделаны важные открытия.

Дедукция широко применяется в обучении как одна из основных форм изложения учебного материала. В курсе физики, например, наличие силы тяжести на Земле, а значит, и закон падения тел объясняется законом всемирного тяготения, т.е. дедуктивным способом. В дедуктивном умозаключении новое знание добывается опосредованно, без обращения к непосредственному опыту. Дедуктивный подход к построению учебного предмета позволяет вместо описания множества отдельных единичных фактов изложить общие принципы, понятия и умения применительно к соответствующей области знания, усвоение которых позволит затем учащимся анализировать все частные варианты как их проявления. Применение дедуктивного метода особенно полезно при изучении теоретического материала, при решении задач, требующих выявления следствий из некоторых более общих положений. Он позволяет учащимся раньше усваивать знания общего и абстрактного характера и уже из них выводить более частные и конкретные знания.

Это открывает большие возможности для сокращения объёма учебного материала и времени, необходимого для его усвоения. Дедукция играет большую роль в формировании логического мышления, способствуя развитию у учащихся умения использовать уже известные знания при усвоении новых, логически обосновывать те или иные конкретные положения, доказывая правильность своих мыслей. Дедукция воспитывает подход к каждому конкретному случаю как звену в цепи явлений, учит рассматривать их во взаимосвязи друг с другом. В результате дедуктивного рассуждения школьник добывает данные, выходящие за пределы исходных условий, и, используя их, приходит к новым выводам. Включая объекты исходных положений во всё новые связи, он открывает в них новые свойства. Это способствует развитию активности и "продуктивности" мышления. Видное место занимает дедукция в формировании причинного мышления учащихся. Овладение дедукцией раскрывает учащимся объективные связи и отношения между изучаемыми фактами и явлениями. Дедукция помогает применять имеющиеся у учащихся знания на практике, использовать общие теоретические положения, носящие часто абстрактный характер, к конкретным явлениям, с которыми учащимся приходится сталкиваться в жизни, в учебной деятельности. Дедукция - один из основных путей, обусловливающих связь школьных знаний с жизнью.

Итак, при использовании дедуктивного метода, деятельность преподавателя и учеников носит следующий характер:

Преподаватель	Ученик
Вначале сообщает общее положение, формулу, закон, а затем постепенно начинает выводить частные случаи, более конкретные задачи	Воспринимают общие положения, формулы, законы, а затем усваивают следствия вытекающие из них.

При получении знания дедуктивным путём очень важно следить за правильностью посылок: формально правильное дедуктивное умозаключение, сделанное из ложных посылок, будет неверным. Необходимо уметь правильно относить частные случаи к той категории явлений, на которую распространяется данное общее положение. Именно это представляет наибольшие, трудности для учащихся: они не всегда могут понять данный конкретный случай как проявление уже известного им общего правила. Полноценное овладение учащимися намеченным содержанием, в т. ч. построенным по дедуктивному принципу, зависит от соблюдения общих психолого-педагогических требований, предъявляемых к процессу усвоения.

Но это не означает, что необходимо перейти к дедуктивному изучению всего материала. Должно быть найдено его рациональное сочетание с индуктивным подходом, так как без индуктивного подхода, нельзя успешно подготовить учащихся к решению более сложных задач.

Необходимо использовать индуктивно-дедуктивный метод, когда от частных случаев осуществляется переход к общему положению, а затем осмысливаются др. частные факты. Например, индуктивным путём формируется понятие о типе задач (ученики решают ряд задач данного типа, выделяя типичное, существенное для них). Затем, встречая какую-либо задачу, ученик, анализируя её содержание, находит те существенные признаки, которые характерны для задач этого вида и определяют тип задачи. Так, добытый индуктивным путём общий закон становится основой получения новых выводов дедуктивным путём.

Как видно из характеристики деятельности преподавателя и учащихся, при использовании дедуктивного или индуктивного методов обучения применяются наглядные и практические методы. Но при этом содержание учебного материала раскрывается определенным логическим образом - индуктивно или дедуктивно. Поэтому можно говорить об индуктивно или дедуктивно-построенной беседе, о дедуктивном и проблемно построенном рассказе, о репродуктивно или поисково-построенной практической работе. В реально используемой в данный момент системе методов обучения сочетаются несколько условно выделяемых в классификации методов. И то, что я говорю о применении дедуктивного или индуктивного метода в данной ситуации, определяется ведущей дидактической задачей, поставленной педагогом на данном этапе обучения. Если, например, преподаватель решил сконцентрировать внимание на развитии дедуктивного мышления обобщенного характера, то он использует дедуктивный метод, сочетая его с проблемно-поисковым, реализуемым посредством специально построенной беседы.

Важнейшей задачей школьного математического образования является задача формирования и развития у учащихся мышления, в частности, математического.

Использование индукции как метода рассуждений для получения новых знаний в процессе обучения математики называют индуктивным методом обучения.

Знакомя учащихся с высотой треугольника, учитель чертит на доске треугольники разных видов и в каждом из них ученики проводят по три высоты; из рассмотрения этих чертежей учащиеся приходят к выводу, что три высоты в остроугольном и прямоугольном треугольниках пересекаются в одной точке (она лежит внутри треугольника или совпадает с вершиной). А в тупоугольном треугольнике проходят через одну точку прямые, которым принадлежат высоты. Здесь индукция выступает в роли метода обучения.

Использование полной индукции при обучении математике можно считать обоснованным. Примером может случить теорема об измерении вписанного угла, теорема косинусов. В треугольнике ABC проведена высота СD. Какая из трех точек А, B и D лежит между двумя другими, если углы А и В треугольника острые:

Точка В не может лежать между А и D, если бы она лежала между ними, то угол АВС был бы равен сумме углов ВСD и СDВ по теореме о внешнем угле треугольника, а значит острый угол В (по условию) был бы больше прямого. Точно так же точка А не может лежать между точками В и D. Значит, точка D лежит между точками А и B.

В практике иногда встречаются ошибочные применения индукции, когда учащимся не предъявляется необходимое разнообразие частных посылок. Приведем пример. Учитель хотел привести учеников к открытию индуктивным путем правила умножения десятичных дробей, но из-за недостатка времени предложил только один пример, в котором во множимом и множителе вместе было три десятичных знака. Используя индукцию на базе одной частной посылки, можно привести учащихся к неправильному открытию. Разумеется, возможно, что кто-нибудь из учащихся догадался, как правильно сформулировать общее правило, но наша цель — создание такой педагогической ситуации, в которой все или по крайней мере большинство учащихся догадаются, как это сделать, а для этого нужно правильно подобрать последовательность частных посылок.

Примерами использования метода индукции в обучении математике могут служить: установление признаков делимости на 10, 5, 3 и 2 в VI классе (индукция используется при выводе признаков: признаки делимости устанавливаются, исходя из наблюдения за таблицей умножения), изучение законов арифметических действий в школе (переместительный, сочетательный и т.д.).

На отдельных этапах обучения, в частности в V классах, обучение математике ведется преимущественно индуктивными методами. Здесь индуктивные заключения достаточно убедительны психологически и в большинстве остаются пока (на этом этапе обучения) недоказанными. Можно обнаружить лишь изолированные «дедуктивные островки», состоящие в применении несложных дедуктивных рассуждений в качестве доказательств отдельных предложений.

В дальнейшем обучении индукция уступает первенство дедукции. Однако она не исключается, меняется лишь ее роль. Если в V классах она служит основным методом обучения, в дальнейшем она становится вспомогательным. С помощью индукции мы открываем то, что подлежит доказательству дедуктивным путем.

Дедукция как метод обучения математике включает:

1)обучение дедуктивным доказательствам;

2) обучение расширению дедуктивной системы включением в нее новых предложений, т.е. преобразованию совокупности предложений, полученных опытным путем, или с помощью индукции, аналогии или других эвристических методов, в систему предложений упорядоченных отношением следования, расширяющую уже изученный фрагмент теории.

В начальных классах дети постепенно приучаются к использованию простейших дедуктивных умозаключений, а в старших классах нередко применяются различные индуктивные методы. В средних классах происходит постепенный переход от преимущественно индуктивного к преимущественно дедуктивному уровню мышления. Так, если в 5 – 6 классах доминирует еще первый уровень, то в систематических курсах 7 – 8 классов, особенно в геометрии, преобладает уже второй логический уровень дедукции. Можно сказать, что примерно в 7 классе в обучении математическим предметам достигается равновесие в соотношении между двумя уровнями обучения (и мышления) школьников и намечается переход от первого уровня ко второму.

Еще в начале XX века опытные педагоги указывали, что только к 14-летнему возрасту школьники достигают той логической зрелости, которая позволяет понимать необходимость и сущность дедуктивных доказательств и оправдывает систематическое применение этого метода. Сейчас с дедуктивным методом учащиеся знакомятся примерно в 12 лет. Методисты считают, что трудности значительно уменьшились хотя бы потому, что в предыдущих классах теоретический уровень обучения и уровень математической подготовки школьников значительно повысился [7].

Дедуктивный метод применяется в обучении математике не только в доказательствах, с ним мы встречаемся также при использовании теории, определений, различных математических предложений, общих методов при решении задач. Именно в этой форме дедукция начинает широко применяться уже с первых лет обучения.

Примерами использования дедукции в обучении математике могут служить изучение свойства прямоугольника (мы устанавливаем, что он есть параллелограмм, поэтому обладает всеми свойствами параллелограмма), применение признаков подобия треугольника к рассмотрению конкретных задач.

2. Опишите методику работы над понятием "Трапеция". Какой путь введения понятия вы выбрали? Почему?

Методика изучения трапеции и её свойств. При изучении параллелограмма можно обратить внимание учащихся на четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Такой четырехугольник называется трапецией. При изучении свойств трапеции центральное место занимает теорема о средней линии. Однако в учебнике нет ни одного упражнения

Рис. 1

на усвоение понятия средней линии трапеции. Подвести учащихся к теореме можно, предложив упражнение:

Доказать, что средняя линия треугольника А BE является средней линией трапеции ABCD (рис. 1).

Это упражнение позволяет учащимся «открыть» теорему о средней линии трапеции и способ её доказательства. Учащиеся могут предложить и другие способы доказательства теоремы, например, разбить трапецию се диагонатыо на два треугольника и затем доказать, что отрезки, заключенные между диагональю и боковыми сторонами трапеции, являются средними линиями образуемых треугольников и т. д.

При изучении четырехугольников сеть возможность осуществлять интеграцию алгебраического и геометрического методов и формировать при этом целостные знания учащихся о параллелограмме, трапеции и других частных видах четырехугольников. Проиллюстрируем этот подход на примере формирования понятия трапеции, выделив его основные этапы.

1 этап (мотивация введения понятия трапеции) реализуется традиционно, поэтому мы не будем останавливаться на нем подробно.
2 этап. Ознакомление с существенными свойствами трапеции па геометрическом языке может осуществляться так: заранее готовится рисунок с изображением разных многоугольников, в том числе и трапеции. Он может быть

Рис. 2

выполнен на доске или спроецирован на экран с помощью мультимедийного проектора. Перед учащимися ставится вопрос, какие из фигур, изображенных на рисунке, имеют общие свойства? Учащиеся замечают, что в некоторых четырехугольниках две противоположные стороны параллельны, а две другие нет. Затем им сообщается, что такой четырехугольник называется трапецией. Здесь же можно сказать, что описанный четырехугольник вместе с его внутренней областью также называют трапецией

После выделения существенных свойств трапеции учащиеся под руководством учителя, используя конкретные примеры, переводят эти свойства на алгебраический язык и задают трапецию системой неравенств:

у > ах + b,

у<ах + с,,,,.

^ где, а ф с |, а Ф с_2у b₂ > b_ly d > d₂.

у < с_ух + dy,

y>c₂x + d ₂;

Как мы видим, система состоит из четырех линейных неравенств с двумя переменными. В двух неравенствах коэффициенты при х равны, что означает параллельность двух сторон трапеции.

С помощью конкретных примеров учащиеся самостоятельно выясняют, что в зависимости от расположения трапеции возможно различное задание ее в виде системы неравенств. В случае, если: 1) основания трапеции параллельны оси OY (рис. 2 а); 2) трапеция симметрична относительно оси OY (рис. 76 б, в); 3) в качестве боковых сторон трапеции выступают отрезки осей ОХ и OY (рис. 76 г, д), трапеция может быть задана соответственно системой неравенств:

причем, а | < а_2у Ъ₂ > Ь > 0, а > О, С < с₂ и d < d₂.

Очевидно, возможны и другие случаи задания трапеции системой неравенств. После таких рассуждений формулируется определение трапеции.

Опр. 2. Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны, называется трапецией.

Такой четырехугольник вместе с его внутренней областью будем также называть трапецией. Учащимся следует разъяснить сам термин «трапеция». Он произошел от греческого слова trapezion, что означает «столик».

3 этап. Для усвоения определения трапеции учащиеся выполняют упражнения на распознавание объектов, принадлежащих понятию, и на выведение следствий из факта принадлежности объекта понятию. Упражнения предлагаются как геометрические, так и алгебраические. Нс останавливаясь подробно на упражнениях геометрического характера, которых достаточно в методической литературе и в учебниках по геометрии, приведем примеры упражнений, заданных в алгебраической форме.
1. Какие из систем неравенств задают на плоскости трапецию и почему?

2. На рисунке изображена плоская трапеция и даны координаты ее вершин. Задайте трапецию системой неравенств (возможны различные случаи расположения оснований трапеции относительно осей координат). (Это упражнение предлагается учащимся после изучения декартовых координат на плоскости.)
3. Трапеция задана системой неравенств. Какие уравнения задают основания трапеции, боковые стороны? Объясните, почему?

4 этап. На этапе применения понятия целесообразно проводить интегрированные уроки по теме «Трапеция». На таких уроках решаются как геометрические задачи, представленные в действующих учебниках, так и задачи комплексного характера, в решении которых сочетаются алгебраический и геометрический методы. Приведем примеры:
1. Найдите площадь трапеции, заданную системой неравенств:

Для решения этой задачи необходимо сначала изобразить трапецию, затем найти координаты ее вершин и длины оснований (длина высоты определяется фактически условием: И = 4), после чего по известной формуле ₀ а + b.

S = ^ • п наити площадь трапеции.
2. Имеет ли ось симметрии фигура, заданная системой неравенств:

Если да, то запишите се уравнение.

Следующие задачи предлагаются после изучения векторов.

3. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены соответственно точки М и Н так, что АВ = ЗВМ, ВС = 3BN. Используя векторы, докажите, что АСНМ - трапеция.
4. Используя векторы, докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен полуразности оснований.
5. В трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания ВС. На