Примерный вариант и образец выполнения

Контрольной работы

Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС:

А (–3; –1), В (4; 6), С (8; –2).

Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В;

4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.

Задача 2. Дано уравнение кривой 2-го порядка: .

Привести заданное уравнение к каноническому виду путем параллельного переноса осей координат. Определить тип кривой, найти ее характерные элементы в исходной системе координат. Изобразить на чертеже расположение кривой относительно обеих систем координат.

Задача 3. Даны уравнение кривой 2-го порядка и уравнение прямой l: x + 2 y –3 = 0.

Требуется: 1) привести заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду; 2) найти точки пересечения кривой и заданной прямой; 3) построить обе линии в исходной системе координат.

Задача 4. Даны многочлен f (x) и матрица А:

Требуется найти значение матричного многочлена f (A).

Задача 5. Дана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными:

Требуется:

1) записать систему в матричном виде;

2) найти решение системы с помощью формул Крамера;

3) решить систему при помощи обратной матрицы.

Задача 6. Даны координаты трех векторов: и вектор :

, .

Требуется:

1) вычислить модуль вектора ;

2) найти координаты вектора ;

3) найти угол φ между векторами и ;

4) вычислить проекцию вектора на направление вектора ;

5) вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и ;

6) вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Задача 7. Даны координаты точек – вершин пирамиды ABCD:

Требуется:

1) вычислить длину ребра AB;

2) найти уравнение плоскости грани ABC;

3) найти угол между гранями ABC и BCD;

4) составить параметрические уравнения прямой AB;

5) составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D;

6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC;

7) найти угол между ребрами AB и BC;

8) найти угол между ребром AD и гранью ABC;

9) сделать чертеж пирамиды в системе координат.

Решение задачи 1.

1) Вычислим длину стороны ВС по формуле (1):

| BС |= =

2) Составим уравнение стороны ВС, используя формулу (8):

y = –2 x + 14 – уравнение ВС.

3) Внутренний угол треугольника при вершине В найдем как угол между прямыми ВА и ВС. Для этого сначала вычислим угловой коэффициент прямой ВА по формуле (7):

и возьмем из уравнения ВС угловой коэффициент прямой ВС: .

Из расположения точек A, B, C на координатной плоскости видно, что угол В в треугольнике ABC – острый, поэтому по формуле (11) вычислим

4) Для получения уравнения высоты АK, проведенной из вершины А, используем уравнение пучка прямых (8) и условие перпендикулярности прямых (10). Сначала вычислим угловой коэффициент прямой АK. Так как , то .

Уравнение AK получим по формуле (6):

у – у_А= k_AK (x – x _A) у – (–1) = (x – (–3))

x –2 y + 1 = 0 – уравнение AK.

5) Для определения координат центра тяжести треугольника используем свойство точки пересечения его медиан: если AМ – медиана треугольника и P – точка пересечения его медиан, то P делит AМ в отношении 2: 1, начиная от точки А, т.е. .

Основание медианы AМ – точка М является серединой отрезка ВС. Найдем координаты точки М по формулам (3):

М (6; 2).

Теперь, когда координаты концов отрезка AМ известны, найдем координаты точки P, которая делит AМ в отношении = 2, начиная от точки А, по формулам деления отрезка в заданном отношении (2):

P (3; 1) – центр тяжести треугольника АВС.

6) Построим чертеж к задаче в системе координат ХОY (рис. 12). Полученные при решении задачи результаты не противоречат чертежу.

Ответы:

1) длина стороны | BС | = ;

2) уравнение стороны ВС: y = –2 x + 14;

3) угол при вершине В: ;

4) уравнение высоты АK: x –2 y + 1 = 0;

5) координаты центра тяжести треугольника P (3; 1);

6) чертеж на рис. 12.

Решение задачи 2.

Приведем заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Для этого выделим в уравнении полные квадраты по переменным х и у:

Получили уравнение эллипса с центром в точке O ₁(5; – 2) (см. таблицу 2 в разделе «справочный материал»).

Осуществив параллельный перенос осей координат в системе XOY по формулам: получим каноническое уравнение эллипса в системе координат X ₁ O ₁ Y ₁, где O ₁(5; –2) в системе XOY (рис. 14).

Найдем характерные элементы эллипса:

Отсюда получаем: а = 3 – большая полуось эллипса, b = 2 – малая полуось эллипса, с = – фокусное расстояние. Координаты фокусов эллипса в системе координат X ₁ O ₁ Y ₁: F ₁(– ; 0), F ₂(; 0).

Найдем координаты фокусов в системе координат XOY:

Таким образом, координаты фокусов эллипса в системе координат XOY:

F ₁(– ; –2), F ₂(;–2).

Вычислим эксцентриситет эллипса:

Изобразим на чертеже расположение эллипса относительно обеих систем координат (рис. 13).

Ответ: – каноническое уравнение эллипса, где

Характерные элементы:

O ₁(5; –2) – центр эллипса;

а = 3 – большая полуось эллипса, b = 2 – малая полуось эллипса;

с = – фокусное расстояние;

координаты фокусов эллипса в системе координат XOY: F ₁(– ; –2), F ₂(;–2);

эксцентриситет эллипса

Чертеж на рис. 13.

Решение задачи 3.

1) Приведем заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Для этого выделим полный квадрат по переменной у (квадрат переменной х в уравнении отсутствует):

Получили уравнение параболы вида с вершиной в точке (см. таблицу 2 в разделе «справочный материал»). Осуществим параллельный перенос осей координат по формулам: В результате получим каноническое уравнение параболы в системе координат X ₁ O ₁ Y ₁.

2) Найдем точки пересечения параболы и заданной прямой в системе координат XOY. Для этого решим систему уравнений:

Таким образом, парабола и прямая пересекаются в точках А (3; 0) и В (1; 1).

3) Построим обе линии в системе координат XOY (рис. 14).

Ответы: 1) ;

2) А (3; 0), В (1; 1);

3) чертеж на рис. 14.

Решение задачи 4.

Записываем матричный многочлен: Здесь Е – единичная матрица той же размерности, что и А, т.е. 3-го порядка.

Найдем матрицу A ². При умножении матрицы A на себя используем правило «строка на столбец» (формула (21)):

A ²= A·A =

Найдем матрицу 2 Е, используя правило умножения матрицы на число (формула (19)):

E =

Теперь найдем значение матричного многочлена f (A), используя правило умножения матрицы на число и правило сложения матриц (формула (20)):

Ответ:

Решение задачи 5.

1) Запишем систему в матричном виде:

, или AX = B, где

(Во втором уравнении системы отсутствует неизвестная х ₃, т.е. а ₂₃= 0).

2) Решим систему с помощью формул Крамера. Для этого по формулам (27) составляем главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных в левых частях уравнений и три вспомогательных определителя:

Вычислим эти определители, используя формулу (23):

Так как ∆ ≠ 0, то данная система имеет единственное решение.

Найдем решение системы по формулам Крамера (28):

3) Решим систему при помощи обратной матрицы.

a) Определитель следовательно, обратная матрица существует.

б) Чтобы найти союзную матрицу А ^* к матрице А, необходимо вычислить по формулам (24) алгебраические дополнения всех ее элементов:

Здесь определители 2-го порядка вычислены по формуле (22).

Тогда союзная матрица (см. формулу (29)):

в) Найдем обратную матрицу по формуле (30):

г) Получим решение системы при помощи обратной матрицы по формуле (31) (правило «строка на столбец»):

Решение, полученное матричным способом, совпадает с тем, которое получено по формулам Крамера, что подтверждает правильность этого решения.

Ответы:

1) система в матричном виде: AX = B, где ;

2) решение системы, полученное с помощью формул Крамера:

;

3) решение системы, полученное при помощи обратной матрицы:

Решение задачи 6.

1) Модуль вектора вычисляется по формуле (33):

2) Чтобы найти координаты вектора , используем формулы (36) и (37):

тогда

3) Косинус угла между векторами и найдем по формуле (39):

Для этого вычислим скалярное произведение и по формуле (38): = –2∙0 + 2∙(–3) + (–1)∙4 = –10, затем модуль вектора : , тогда и

4) Проекцию вектора на направление вычислим по формуле (40):

5) Площадь треугольника, построенного на векторах и найдем по

формуле (42). Для этого сначала находим векторное произведение этих векторов по формуле (41):

Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах и :

(кв.ед.).

6) Для вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах

находим смешанное произведение векторов по формуле (43):

тогда объема параллелепипеда по формуле (47): .

Ответы:

1) модуль вектора :

2) координаты вектора :

3) угол между векторами и :

4) проекция вектора на направление вектора :

5) площадь треугольника, построенного на векторах и : (кв.ед.);

6) объем параллелепипеда, построенного на векторах : (куб.ед.).

Решение задачи 7.

1) Длину ребра найдем по формуле (34):

2) Чтобы получить уравнение плоскости грани ABC, необходимо найти вектор, перпендикулярный плоскости ABC, т.е. вектор, перпендикулярный векторам и . Одним из таких векторов является векторное произведение на . Для того, чтобы найти его, сначала вычислим координаты векторов по формуле (35):

={–3–(–2); 2–1; –1–1} = {–1; 1; –2},

={7; –3; –3}.

Векторное произведение и найдем по формуле (41):

В качестве вектора нормали к плоскости ABC можно взять любой вектор, коллинеарный полученному, например, = {9; 17; 4}. Используем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору (формула (46):

– уравнение плоскости грани ABC.

3) Прежде, чем найти угол между гранями ABC и BCD, получим уравнение грани BCD, используя уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки (формула (47):

– уравнение грани BCD.

Из уравнения плоскости BCD возьмем координаты вектора нормали , перпендикулярного этой плоскости: ={3; 7; –4}.

Косинус угла между плоскостями (гранями) ABC и BCD найдем по формуле(48):

Отсюда .

4) Уравнения ребра AB можно записать как параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A (–2;1;1) и имеющей направляющий вектор = {–1; 1; –2} (формулы (49)):

– параметрические уравнения AB.

Другой способ: можно использовать уравнения прямой, проходящей через две точки (формулы (51)):

откуда, обозначив каждую из дробей буквой t, получаем:

– параметрические уравнения AB.

5) Высота пирамиды DK – это прямая, проведенная из вершины D перпендикулярно грани ABC. Она имеет направляющий вектор , коллинеарный вектору нормали плоскости ABC. Можно взять, например, = = {9; 17; 4}. Запишем канонические уравнения высоты DK, используя точку D (–1; 0; –3) и вектор ={9; 17; 4} (формулы (50)):

– канонические уравнения DK.

6) Прежде, чем найти точку пересечения DK и грани ABC, получим параметрические уравнения прямой DK. Обозначив каждую из дробей в канонических уравнениях буквой t, получаем:

– параметрические уравнения DK.

Точка пересечения DK и грани ABC (точка К) лежит на прямой, а значит, имеет координаты , и принадлежит плоскости, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости ABC. Поэтому координаты точки K найдем, решив систему:

Решим последнее уравнение относительно t:

Вычислим координаты точки K, подставив найденное значение параметра t в первые три уравнения системы:

Итак, точка пересечения DK и грани ABC: .

7) Угол между ребрами AB и BC найдем, как угол между направляющими векторами прямых AB и BC: = {–1; 1; –2} и ={8; –4; –1}. Вычислим косинус угла по формуле (52):

Тогда угол между ребрами AB и BC:

8) Чтобы определить угол между ребром AD и гранью ABC, найдем направляющий вектор прямой: ={1; –1; –4}. Плоскость ABC имеет вектор нормали = {9; 17; 4}. Синус угла между прямой и плоскостью ABC можно вычислить по формуле (53):