2020-06-30
748Практическая работа № 10
Тема: «Построение распределения дискретной случайной величины по заданному условию».
Цель:
Указания по выполнению работы:
1. Повторите понятие
2. Рассмотрите приведенные примеры решения комбинаторных задач.
3. Выполните предложенные задания.
Краткие теоретические сведения.
Определение: Математическим ожиданием случайной величины называется число, равное сумме произведений всех значений случайной величины на вероятности этих значений.
Математическое ожидание случайной величины X обозначается через MX. Если случайная величина X принимает значения 
соответственно с вероятностями 
, то согласно определению:
. (1)
Математическое ожидание часто называют средним значением случайной величины, так как оно указывает некоторое «среднее число», около которого группируются все значения случайной величины.
Определение: Пусть задан закон распределения случайной величины X:
|
|
|
| 0 | 1 | … | k | … | n |
| 
| 
| … | 
| … | 
|
Тогда такое распределение называется распределением Я. Бернулли или биноминальным распределением, причём верно равенство
. (2)
Теорема 1. Математическое ожидание случайной величины, распределённой по биноминальному закону с параметрами n и p, равно произведению np, то есть
, (3)
где n – это количество серий независимых опытов, а p – это вероятность появления некоторого события A.
Определение: Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.
Дисперсия случайной величины X обозначается через DX. Следовательно,
. (4)
Пусть случайная величина X принимает значения соответственно с вероятностями . Тогда квадрат отклонения случайной величины X от её математического ожидания есть случайная величина, которая принимает значения
, 
, …, 
, …, 
соответственно с вероятностями 
.
Поэтому математическое ожидание так распределённой случайной величины, то есть дисперсию X, можно записать в виде:
. (5)
Дисперсия случайной величины характеризует степень разброса, рассеивание случайной величины относительно её математического ожидания (среднего значения).
Теорема 2. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата этой величины без квадрата её математического ожидания, то есть
. (6)
Теорема 3. Дисперсия случайной величины X, распределённой по биноминальному закону с параметрами n и p, где n – это количество серий независимых опытов, а p – это вероятность появления некоторого события A, q – это вероятность того, что событие A не произойдёт, вычисляется по формуле
|
|
|
. (7)
2. Примеры:
Пример 1. Пусть случайная величина X – число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найти математическое ожидание случайной величины X, если случайная величина X задаётся законом распределения:
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|
| 
|
|
|
|
|
|
Решение:
По формуле (1), используя заданный закон распределения случайной величины, находим математическое ожидание
.
Ответ: 3,5.
Пример 2. Найти математическое ожидание числа бракованных изделий в партии из 10000 изделий, если каждое изделие может оказаться бракованным с вероятностью 0,005.
Решение:
Число бракованных изделий – это случайная величина X, распределённая по биноминальному закону. Число серий независимых опытов n=10000, вероятность брака p=0,005. Поэтому по формуле (3) находим
.
Ответ: 50.
Пример 3. Случайная величина X распределена по закону:
| –1 | 1 |
|
|
Найти дисперсию случайной величины.
Решение:
Найдём сначала математическое ожидание случайной величины:
.
С помощью формулы (5) находим дисперсию
.
Ответ: 1.
Выполните задания.
№ 1. Выполнить задания:
а) Из урны, содержащей белые и чёрные шары, наугад вынимаются два шара. Найдите MX и DX,если X – число вынутых белых шаров, а вероятность появления белого шара равна 0,7.
б) Случайная величина X распределена по закону:
| –1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 0,2 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,2 |
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
в). Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бракованных изделий в партии из 5000 изделий, если каждое изделие может оказаться бракованным с вероятностью 0,02.
№2. Выполните самостоятельно индивидуальное задание по предложенному варианту:
Вариант1
1. Случайная величина X распределена по закону:
| –1 | 0 | 1 | 2 |
|
| 
| 
| 
|
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
2. В лотерее разыгрывается 20000 билетов. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа выигрышных билетов, если каждый билет может выигрышным с вероятностью 0,3.
Вариант 2
1. Случайная величина X распределена по закону:
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| 
| 
| 
|
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
2. В магазин поступила партия из 50 коробок с обувью черного и коричневого цвета. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа коробок с обувью коричневого цвета, если вероятность того, что обувь будет коричневого цвета равна 0,2.
Вариант 3
1. Случайная величина X распределена по закону:
| –1 | 0 | 1 |
| 
| 
|
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа не взошедших семян из 800 посеянных семян данного растения, если каждое из семян может не взойти с вероятностью 0,01.
Вариант 4
1. Случайная величина X распределена по закону:
| –1 | 1 | 2 | 3 |
| 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа студентов, которые не сдадут экзамен, в группе из 30 человек, если каждый студент может не сдать экзамен с вероятностью 0,4.
Вариант 5
1. Случайная величина X распределена по закону:
| –2 | –1 | 1 | 2 |
| 0,2 | 0,1 | 0,2 | 0,5 |
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
2. В урне находятся всего 100 белых и чёрных шаров. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа белых шаров, если вероятность того, что шар будет белым равна 0,02.
Вариант 6
1. Случайная величина X распределена по закону:
| 1 | 2 | 3 |
| 0,07 | 0,03 | 0,9 |
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
|
|
|
2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа нестандартных ламп в партии из 300 ламп, если каждая лампа может оказаться нестандартной с вероятностью 0,07.
Вариант 7
1. Случайная величина X распределена по закону:
| –1 | 1 | 2 |
| 
| 
|
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа фальшивых билетов, купленных на самолёт, в партии из 150 билетов, если каждый билет может оказаться фальшивым с вероятностью 0,004.
Вариант 8
1. Случайная величина X распределена по закону:
| 0 | 1 | 2 |
| 0,4 | 0,5 | 0,1 |
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа изделий со знаком качества в партии из 7000 деталей, если каждая деталь может оказаться со знаком качества с вероятностью 0,8.
Вариант 9
1. Случайная величина X распределена по закону:
| –1 | 0 | 1 |
|
| 
| 
|
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа поддельных медицинских препаратов в партии из 126 препаратов, если каждый препарат может быть поддельным с вероятностью 0,06.
Вариант 10
1. Случайная величина X распределена по закону:
| 0 | 1 | 2 |
| 
| 
|
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа студентов, заболевших простудными заболеваниями, в группе из 30 человек, если каждый студент может заболеть с вероятностью 0,3.
Вариант 11
1. Случайная величина X распределена по закону:
| –1 | 0 | 1 |
|
| 
| 
|
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа взошедших цветов в партии из 47 посаженных семян, если каждое семя может взойти с вероятностью 0,6.
Вариант 12
1. Случайная величина X распределена по закону:
| –3 | –2 | –1 | 1 |
|
| 
| 
|
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа молочных продуктов с истёкшим сроком годности в партии из 120 молочных продуктов, если срок годности каждого молочного продукта может быть истёкшим с вероятностью 0,02.
|
|
|
Вариант 13
1. Случайная величина X распределена по закону:
| –1 | 1 | 2 | 3 |
| 0,3 | 0,4 | 0,1 | 0,2 |
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа новых книг в библиотеке в партии из 200000 экземпляров, если вероятность того, что книга в библиотеке новая равна 0,001.
Вариант 14
1. Случайная величина X распределена по закону:
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| 
| 
| 
|
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа пропущенных уроков студентом в первом семестре из 300 уроков, если каждый урок пропущен студентом с вероятностью 0,04.
Вариант 15
1. Случайная величина X распределена по закону:
| –2 | –1 | 1 | 2 |
|
| 
| 
|
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа проданных на концерт билетов в партии из 400 билетов, если вероятность того, что билет будет продан, равна 0,8.
Вариант 16
1. Случайная величина X распределена по закону:
| –1 | 0 | 1 | 2 |
| 
| 
| 
|
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа некачественных гелиевых ручек в партии из 300 штук, если вероятность того, что ручка некачественная равна 0,07.
