double arrow

Дисперсия случайной величины. Определение. Дисперсией случайной величины x называется число

Определение. Дисперсией случайной величины x называется число

 
 

Заметим, что величину mk = E (xE x) k, k ³ 2 называют центральным моментом порядка k случайной величины x.

Рассмотрим свойства дисперсии.

1). D x = E x2 - (E x) 2

Действительно, из определения дисперсии получаем

2). D x ³ 0, причем

D x = 0 Û P (x = E x) = 1,

т.е. xпостоянная (здесь Û - знак эквивалентности утверждений).

Так как D x = E (x - E x) 2, то D x > 0. Пусть Р (x = Е x) = 1, тогда E x2 = (E x) 2, и, следовательно, по свойству 1

D x = E x2 - (E x) 2 = 0

Если D x = E (x - E x) 2 = 0, то Р (x - E x = 0) = 1 или Р (x = E x) = 1, поскольку (x - E x) 2 ³ 0.

Следствие. Если С— постоянная, то D C = 0.

 
 

Непосредственно из определения дисперсии получаем

3)

 
 

D (Cx + b) = С2 × D x, где C u b постоянные. Доказывается следующим образом:

Следствие: D (C x) = С2 × D x, D (x + b) = D x.

 
 

4. Если x и h независимые случайные величины, тогда

 
 

Это свойство получается из определения дисперсии с учетом независимости случайных величин x и h. На самом деле,

поскольку если случайные величины x и h независимы, то случайные величины xЕ x и hЕ h также независимы (проверьте самостоятельно), поэтому по свойству 5 математического ожидания Е (xЕ x)(hЕ h) = 0.

Как следствие получаем: Если x 1, x 2, …, xn независимые случайные величины, то

 
 


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: