double arrow

Дисперсия случайной величины. Определение. Дисперсией случайной величины x называется число



Определение. Дисперсией случайной величины x называется число

 
 

Заметим, что величину mk = E(xEx)k, k ³ 2 называют центральным моментом порядка k случайной величины x.

Рассмотримсвойства дисперсии.

1). Dx= Ex2 - (Ex)2

Действительно, из определения дисперсии получаем

2). Dx ³ 0, причем

Dx = 0 Û P(x = Ex) = 1,

т.е. x постоянная (здесь Û - знак эквивалентности утверждений).

Так как Dx= E(x - Ex)2, то Dx> 0. Пусть Р(x = Еx) = 1, тогда Ex2 = (Ex)2, и, следовательно, по свойству 1

Dx= Ex2 - (Ex)2 = 0

Если Dx= E(x - Ex)2 = 0, то Р(x- Ex = 0) = 1 или Р(x= Ex) = 1, поскольку (x - Ex)2 ³ 0.

Следствие. Если С—постоянная, то DC = 0.

 
 

Непосредственно из определения дисперсии получаем

3)

 
 

D(Cx + b) = С2 × Dx, где C u b постоянные. Доказывается следующим образом:

Следствие: D(Cx) = С2 × Dx , D(x + b) = Dx.

 
 

4. Если x и h независимые случайные величины, тогда

 
 

Это свойство получается из определения дисперсии с учетом независимости случайных величин x и h. На самом деле,

поскольку если случайные величины x и h независимы, то случайные величины x Еx и hЕh также независимы (проверьте самостоятельно), поэтому по свойству 5 математического ожидания Е(x Еx)(hЕh) = 0.




Как следствие получаем: Если x1, x2, …, xn независимые случайные величины, то

 
 



Сейчас читают про: