Законы распределения случайной величины

Тема: Характеристики случайной величины 

Случайная величина - это фундаментальное понятие теории вероятностей и математической статистики. Каждый автор по-своему формулирует понятие случайной величины. Е.С. Вентцель, например, определяет случайную величину, как величину, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Иначе говоря, случайная величина это величина, имеющая целый набор допустимых значений, но принимающая лишь одно, и какое именно, заранее точно сказать нельзя.

Случайную величину на практике обычно обозначают заглавными буквами, например: X, Y, Z, тогда, как возможные значения самой величины определяются строчными знаками: x, y, z. случайный величина теория вероятность.

Виды и примеры случайных величин

 Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

К дискретным относятся те случайные величины, множество значений которых конечно или фиксировано. Примером дискретной случайной величины, можно считать количество попаданий в цель при заранее определенном числе выстрелов.

  Непрерывная случайная величина это такая величина, множество значений которой несчётно или бесконечно. В качестве примера для непрерывной случайной величины, можно взять количество кругов на воде, после попадания в нее камня, или расстояние, которое пролетит стрела, прежде чем упасть на землю.

 Все случайные величины, ко всему прочему, имеют еще одну важную характеристику - ряд допустимых значений, который, в свою очередь, может как ограниченным, так и неограниченным. Отсюда, имеем, в зависимости от числа допустимых значений, ограниченные случайные величины, ряд допустимых значений конечен или фиксирован, и неограниченные, количество допустимых значений которых бесконечно.

  Дискретные случайные величины могут иметь ограниченный и неограниченный ряд возможных значений, когда как непрерывные - только неограниченный. На практике в теории вероятностей и математической статистике, как правило, имеют дело только с непрерывными случайными величинами.

Законы распределения случайной величины

  Закон распределения дискретной случайной величины Любое соотношение между допустимыми значениями случайной величины и вероятностями их наступления называют законом распределения дискретной случайной величины. Существует два способа задания закона распределения: Аналитически, когда закон распределения задается в виде таблицы соответствия значений случайной величины и их вероятностью, именуемой рядом распределения:

Таблица 1 - ряд распределения случайной величин.  Здесь, в первой строке располагаются возможные значения случайной величины, а во второй - их вероятности, при этом сумма всех вероятностей равна единице: Графически, когда таблица распределения случайной величины принимает многоугольника распределения:

 Рисунок 1 - многоугольник распределения случайной величины

Существует также биномиальный закон распределения дискретной случайной величины или, второе название - закон распределения Бернулли.

  Определение: дискретная случайная величина ξ распределена по биномиальному закону, если вероятность того, что событие A наступит ровно m раз в серии из n испытаний по схеме Бернулли, равна:

(2)

Методы, средства и законы теории вероятностей и математической статистики на протяжении всех этапов формирования дисциплины, являлись актуальным, какими и остаются вплоть до наших дней. Главный принцип методов, позволивший затронуть столь огромное количество отраслей и сфер знания - универсальность. Их с легкостью можно применять в любой дисциплине, и при этом они не теряют своей силы, остаются справедливыми. Но никогда еще теория вероятностей не была столь востребована, как сегодня. Связано это в первую очередь с невероятными темпами развития и роста вычислительной техники.

С каждым годом она становится все сложнее, повышается быстродействие, количество производимых в секунду операций, и все это происходит не без участия математической статистики, которая, в свою помогает оптимизировать работу вычислительных систем и комплексов, повышает точность расчетов, осуществляет прогностическую функцию.