Описание ко 2 вопросу

Практическая работа №74.

Тема. Представление о правильных многогранниках

(тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр).

Цель работы: знакомство с правильными многогранниками, изучить свойства правильных многогранников.

В результате выполнения практической работы обучающийся должен

.

Методические рекомендации

Краткие теоретические сведения:  Название «правильные» идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке.

Правильными многогранниками называют выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причём грани – правильные многоугольники одного типа

 До сих пор многоугольники нередко называют в науке по- гречески с окончанием «гон»: полигон –многоугольник, пентагон – пятиугольник (такой формы сверху здание Театра Российской Армии в Москве и Министерства обороны США в Вашингтоне), гексагон – шестиугольник (ячейка пчелинных сот сверху) и т.д.

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: “эдра” - грань; “тетра” - 4; “гекса” - 6; “окта” - 8; “икоса” - 20; “додека” – 12

1. Исследовательская работа “Формула Эйлера”

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и занесём результаты в таблицу 1.

Правильный многогранник	Число Граней	Число Вершин	Число Ребер	Г+В
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

 

Вот теперь закономерности может не заметить только “слепой”. Сформулируем её так: “Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 ”, т.е. Г + В = Р + 2. Запишите в тетрадь формулу Эйлера.

Описание ко 2 вопросу.

Итак, мы вместе сделали открытие, мы “открыли” формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

Хотя действительно “Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук”.

Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Правильные многогранники – самые «выгодные» фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов.

Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

8). Правильные многогранники в искусстве.

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.

Сальвадор Дали на картине “Тайная вечеря” изобразил И.Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471-1528) в известной гравюре “Меланхолия”, на переднем плане также изобразил додекаэдр.

 

Платоновы тела»

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, аоктаэдр – воздух.

В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал все мироздание и почитался главнейшим – его по-латыни стали называть quinta essentia, означающее все самое главное, основное, истинную сущность чего-либо. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

В книге по геологии Волошина А., Майстермана С. «Минералы Кольского полуострова» описываются свойства кристаллов широко известных всем нам минералов. Кристаллами восхищаются поэты, художники, свойства кристаллов изучают химия, физика, кристаллография.

Интересно, что икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для того чтобы определить его форму, брали разные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр. Головка вируса-бактериофага также имеет форму икосаэдра. Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра. Он может жить и размножаться только в клетках человека и приматов.

Природа широко пользуется тем, что правильные многогранники – самые выгодные фигуры. Это подтверждают формы некоторых кристаллов, о которых мы вам расскажем. Кристаллическая решётка метана имеет форму тетраэдра.

Пирит. Пирит обычно образует зернистые массы среди других сульфидных минералов. Часто представлен кристаллами в виде кубов, на гранях которых почти всегда наблюдается характерная штриховка. Окрас – желтый с разными оттенками. Окраска и определила название – «пирос» (по-гречески значит «огонь»). Сырье для получения серной кислоты; меди, кобальта.

Магнетит. Обычно встречается в виде мелких зерен, но может образовывать октаэдрические кристаллы. Железо-черные кристаллы, зернистые массы. Встречается в кварцитах и кристаллических сланцах. Главная руда железо.

Алмаз. Кристаллы алмаза обычно имеют форму октаэдра. Алмаз (от греческого adamas – несокрушимый) – бесцветный или окрашенный кристалл с сильным блеском в виде октаэдра. Кристаллы алмаза представляют собой гигантские полимерные молекулы и обычно имеют форму октаэдров, реже — кубов или тетраэдров. Широко используется в ювелирном деле.