Для вычисления несобственного интеграла можно применять замену.
Может случиться, что с помощью замены переменной несобственный интеграл превратится в определенный.
Несобственный интеграл по конечному промежутку заменой переменной может быть преобразован в интеграл по неограниченному промежутку.
6.2.3. Интегрирование по частям в несобственных интегралах от неограниченных функций.
Пусть и – непрерывно дифференцируемые на промежутке функции.
Тогда имеет место формула:
Пусть и – непрерывно дифференцируемые на промежутке функции.
Тогда имеет место формула: (ср. п. 2.2).
6.2.4. Cходимость несобственного интеграла
Интеграл сходится при и расходится при .
Признаки сходимости несобственных интегралов
От неограниченных функций
6.3.1. Пусть функции и непрерывны при в точке имеют бесконечный разрыв, и на интервале выполняется условие . Тогда:
1) Если сходится , то сходится и
2) Если расходится , то расходится и
6.3.2. Пусть функции и непрерывны при в точке имеют бесконечный разрыв, и выполняется условие
|
|
(функции одного порядка; при эквивалентны). Тогда интегралы и одновременно либо сходятся, либо расходятся. |
6.3.3.Абсолютная и условная сходимость.
Пусть функция непрерывна при и в точке имеет бесконечный разрыв.
Если (интеграл от абсолютной величины функции ) сходится, то сходится. В этом случае называется абсолютно сходящимся. Если сходится, а расходится, то интеграл называется условно сходящимся. |