Простейшее гармоническое колебание

Процессы, в которых какая-либо физическая величина периодически изменяется во времени, называют колебаниями [16, 21]. Время одного цикла измене­ний является периодом колебания T, а величина, обратная периоду, – часто­той f = 1/ T.

Период колебаний (T) – это интервал времени, который необходим для завершения одного цикла колебания. В зависимости от быстроты колебаний, период измеряют в секундах, миллисекундах, микросекундах и т.д.

Частота колебаний (f = 1/ T) - величина обратная периоду, определя­ет количество циклов колебания за период и измеряется в герцах (1 Гц=с^-1). Для роторных машин частота основного колебания соответству­ет частоте вращения, измеряемой в оборотах в минуту (об/мин) и определяется как   n = f ∙60, где f – частота в Гц, в 1-ой минуте – 60 секунд.

Для описания и измерения механических вибраций используются сле­дующие понятия, приведенные на рисунках  2.2 и  2.3

Максимальная амплитуда (пик ) – это максимальное отклонение от нулевой точки, или от положения равновесия.

Размах (пик – пик) – это разность между амплитудами положительного и отрицательного пиков. Для синусоидального колебания размах в точности равен удвоенной пиковой амплитуде, так как временная реализация в этом случае симметрична. Однако в общем случае это неверно для полигармони­ческого, случайного процессов и их смеси.

Среднеквадратическое значение амплитуды (СКЗ) равно квадратно­му корню из среднего квадрата амплитуды колебания, т.е. для расчета СКЗ необходимо возвести в квадрат мгновенные значения амплитуды колебаний, и усреднить получившиеся величины по времени. На практике среднеквадратичное значение определяется выражением

                                                                   (2.11)

 

связь СКЗ и среднего значения с пиковым значением определяется зависимостью

                                               (2.12) 

или в общей форме

                                               (2.13)

где 

 – характеристики отклонения формы волн от sin

дБ, 3дБ

 

 

Рис. 2.2. Параметры временной реализации

 

Рис. 2.3 – Среднеквадратическое значение амплитуды

 

Для получения правильно­го значения, интервал усреднения должен быть не меньше одного периода колебания. После этого извлекается квадратный корень и получается СКЗ. Для синусоидальной волны (и только для неё) СКЗ в 1,41 раза меньше пико­вого значения, однако такое соотношение справедливо только для данного случая. По физической природе колеблющейся величины различают колебания механические, электрические и др. Диапазон частот механических колебаний – от инфразвуковых (10^-1 Гц) до гиперзвуковых (10⁸ Гц). Самыми простыми из существующих в природе колебательных движе­ний являются упругие прямолинейные колебания тела на пружине (рис. 2.4). При этом простейшая колебательная система (тело, подвешенное на пружине) может быть описана набором параметров - массой тела m (пред­полагается, что оно не упругое) и коэффициентом жесткости пружины (упругостью пружины) k (предполагается, что она не имеет массы).

При отсутст­вии сил сопротивления груз, смещенный от положения равновесия на вели­чину x и предоставленный самому себе, будет совершать гармонические ко­лебания по закону

                                                           (2.14)

 где x – амплитуда колебания (максимальное S₀ смещение от положения равно­весия);  – фаза колебания; - начальная фаза; t – текущее время; ω₀ –круговая (угловая) частота, равная

                                                          (2.15)

где  3,14592653.

В математике функция синуса описывает зависимость отношения кате­та к гипотенузе от величины противолежащего угла. Синусоидальная кривая при таком подходе является графиком синуса в зависимости от величины уг­ла. Период T ₀ и круговая частота ω₀  собственных колебаний простейшей системы без учета сил трения (см. рис. 2.4) определяются величиной массы m и коэффициентом упругости k:

 и                                          (2.16)

 

Рис. 2.4. Пример простейшего колебания

 

Отсюда следует, что с увеличением жесткости пружины увеличивается и собственная частота, а с увеличением массы собственная частота падает.

Такая механическая система имеет одну степень свободы. Если отвести тело на некоторое расстояние от положения равновесия и отпустить, то пру­жина заставит тело двигаться. Тело приобретет при этом определенную ки­нетическую энергию, минует точку равновесия и деформирует пружину в противоположном направлении. После этого скорость тела начнет умень­шаться, пока оно не остановится в другой крайней позиции, откуда сжатая или растянутая пружина опять начнет возвращать тело в положение равнове­сия. Такой процесс будет повторяться, при этом происходит непрерывное пе­ретекание энергии от тела (кинетическая энергия) к пружине (потенциальная энергия) и обратно.

Если бы в системе отсутствовало трение, то эти колебания продолжа­лись бы непрерывно и бесконечно долго с постоянными амплитудой и часто­той. Любая реальная механическая система обладает трением (имеет демп­фирование), которое приводит к постепенному затуханию амплитуды (см. рис. 2.5) и превращает энергию колебаний в тепло. Движение тела мож­но описать уравнением:

                                                  (2.16)

где   — коэффициент затухания, зависит от сил вязкости (трения), его величина определяется  Вместо   иногда употребляют величину обратную коэффициенту затухания, которая называется постоянной времени затухания и имеет размерность времени.

Такие колебания называются затухающими. Период затухающих колебаний величина постоянная и не зависит от начальных условий

                                                                                            (2.17) 

Он больше периода собственных колебаний при отсутствии сопротивления

        

Рис. 2.5 – Затухающие колебания системы с демпфером

 

(демпфера). Величина изменения периода в первом приближении будет определяться                                              

Постоянные значения А и   определяются из начальных условий в следующей форме

                           (2.18)     

 

Величина отношения двух последовательных максимумов называют декрементом колебаний

Натуральный логарифм декремента колебаний называют логарифмическим декрементом колебаний. Он определяется

Кроме декремента и логарифмического декремента колебаний часто используется другая характеристика затухания — добротность системы , которая определяется приближенным соотношением .        

Любая механическая конструкция может быть представлена в виде системы пружин, масс и демпферов, поглощающих энергию. Масса и пружи­на образуют систему, которая имеет резонанс на характерной для нее собст­венной частоте. Если подобной системе сообщить энергию (например, толк­нуть массу или оттянуть пружину), то она начнет колебаться с собственной частотой, а амплитуда вибрации будет зависеть от мощности источника энер­гии и от поглощения этой энергии, т.е. демпфирования, присущего самой системе.

Множество систем пружина—масса—демпфер (т.е. простейших ос­цилляторов), которыми можно моделировать поведение механической конст­рукции, называют степенями свободы. Энергия вибраций машины распределяется между этими степенями свободы в зависимости от их собственных частот и демпфирования, а также в зависимости от частоты источника энер­гии. Поэтому вибрационная энергия никогда не распределена равномерно по всей машине. Например, в машине с электродвигателем главным источником вибраций является остаточный дисбаланс ротора двигателя. Это приводит к заметным уровням вибрации на подшипниках двигателя. Однако если одна из собственных частот машины близка к оборотной частоте ротора, то ее вибрации могут быть велики и на довольно большом удалении от двигателя. Этот факт необходимо учитывать при оценке вибрации машины: точка с максимальным уровнем вибрации не обязательно располагается рядом с ис­точником возбуждения. Колебательная энергия может передаваться на боль­шие расстояния, например, по трубам, и может вызвать большие амплитуды колебаний при встрече с удаленной конструкцией, собственная частота кото­рой близка к частоте возбуждения.

Рассмотрим случай, когда груз (рис. 2.5) находится в положении равновесия и на него начинает действовать периодическая внешняя сила . По истечении некоторого времени τ ₁ (установление колеба­ний) амплитуда достигнет постоянной величины, которая будет зависеть от свойств системы и внешней силы:

                                   (2.19)

 

где F _max - максимальное значение внешней силы,

ω - круговая частота изменения этой силы

Колебания под действием внешних сил называют вынужденными. Если по истечении времени τ ₂ сила перестанет действовать, то колебания превра­щаются в затухающие. При приближении частоты изменения внешних сил к частоте собственных колебаний в системе наступает резонанс — резкое уве­личение амплитуды колебаний.

Рассмотренная простейшая колебательная система имела одну степень свободы (смещение вдоль одной оси координат), сосредоточенные парамет­ры (пружина обладает только упругостью, a груз - массой), сила трения была пропорциональна скорости, в случае вынужденных колебаний действовала одна гармоническая сила. На практике параметры и условия колебаний сис­тем могут быть и более сложными, однако рассмотренные закономерности характерны и для этих случаев.