Структура импульсного воздействия

При проведении модального анализа в качестве возбуждающего сигнала используется импульс, так как для твердых (а при некоторых условиях и в жидких, и газообразных) объектов свойственно преобразование в собственные гармонические затухающие колебания. При этом параметры отклика на импульсное воздействие определяются двумя взаимно независимыми факторами - свойствами возбуждаемых импульсным воздействием колебательных систем и параметрами самого импульсного воздействия.

Важнейшей импульсной функцией при рассмотрении спектрально-временных преобразований является () – функция – сигнал прямоугольной формы, длительностью и амплитудой (см. рис. 2.14) при следующем условии:

при . (2.26)

– функция имеет бесконечно большую величину амплитуды при бесконечно малом значении длительности. Сразу оговоримся, что -функция является математической абстракцией, не реализуемой на практике. Создание воздействия с амплитудой, равной бесконечности, энергетически невозможно, а при стремлении к ней вызвало бы разрушение объекта исследования. Но с информативных позиций значение – функции очень велико.

Рис. 2.15. Спектральное изображение (

) - функции

Рис. 2.14. Временное изображение (

)- функции

Спектральное изображение – функции (рис. 2.15) представляет собой горизонтальную линию . В сигнале содержатся составляющие, имеющие абсолютно все частоты и все фазовые соотношения между этими составляющими. Формально математически это действительно так, но для восприятия физического смысла спектрального изображения -функции представляется удобным другой подход. Постоянство плотности спектра во всем частотном диапазоне свидетельствует о том, что подобного рода сигнал с одинаковой эффективностью возбудил бы колебательную систему с любой собственной частотой. Сигнал прямоугольной формы, имеющий конечную длительность , имеет спектр, подобный показанному на рис. 2.16. Такой сигнал может возбудить колебательные системы, имеющие различные частоты, далеко не с одинаковой эффективностью, и эффективность эта падает с частотой тем быстрее, чем больше длительность импульса t_i. Если интересующий нас диапазон частот не превышает (рис.2.16), при том, что плотность спектра прямоугольного импульса в этом диапазоне изменяется в допустимых пределах, мы имеем право относиться к такому импульсному воздействию как к - функции. При анализе результата импульсного возбуждения колебательной системы мы в этом случае можем не учитывать параметры воздействия, считая его бесконечно коротким независимо от действительного значения t_i. Смысл того, что спектр прямоугольного импульса на частотах, равных величинам (где n – любое целое число), обращается в нуль, станет понятным из следующего рассуждения. Если объектом воздействия является колебательная система, собственная частота которой равна 1/t_i, то получается, что если фронт прямоугольного импульса эту систему возбуждает, то спад его (задний фронт) через время, равное периоду этой частоты, воздействует на эту же колебательную систему в противофазе, в результате чего возникшие было колебания прекратятся. Иначе говоря при колебательная система данным прямоугольным импульсом возбуждена не будет. Этот эффект легко наблюдать при возбуждении прямоугольным электрическим импульсом единичного L-C – контура с сосредоточенными параметрами.

Рис. 2.16. Спектр сигнала прямоугольной формы, имеющий конечную длительность t_i..

В отличие от электрического, акустическое воздействие в виде прямоугольного импульса осуществить крайне сложно. Более того, обычно не представляется возможным выяснить истинную форму импульсного воздействия. Однако независимо от формы импульса увеличение длительности ударного взаимодействия сопровождается уменьшением полосы частот , в которой этот импульс может достаточно эффективно возбудить колебательную систему. При этом спектр импульсного воздействия, не имеющего крутых фронтов, нигде не имеет значения, равного нулю. Соотношение между и на уровне, достаточном для качественной оценки возможностей импульсного воздействия выглядит следующим образом:

. (2.25)

Строго говоря, любое импульсное воздействие имеет бесконечный спектр. Выражение же (2.25) характеризует ту полосу частот , в которой возбуждение некоторой колебательной системы с помощью импульса заданной длительности энергетически целесообразно. За пределами этой полосы амплитуда колебаний возбуждаемой колебательной системы будет незначительной.

Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения, называется напряжением:

(2.26)

Английский физик Р. Гук экспериментально установил, что для малых деформаций относительное удлинение (перемещение) и напряжение прямо пропорциональны друг другу:

(2.27)

где коэффициент пропорциональности называется модулем Юнга.

Из формул (2.26) и (2.27) вытекает, что

(2.28)

Второй закон Ньютона – основной закон динамики поступательного движения – отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение тела под действием приложенных к нему сил:

(2.29)