Характеристики и параметры практических фильтров

Полосовые фильтры отличаются от соответствующих идеальных фильтров в отношении ряда свойств и параметров. При предположении сохранения колебаний  в полосе пропускания в приемлемых пределах главными параметрами практического полосового фильтра можно считать ширину его полосы пропускания и его избирательность.

Ширина шумовой полосы фильтра определена шириной полосы пропускания эквивалентного идеального фильтра, пропускающего идентичную мощность белого шума (при идентичном опорном уровне в полосе пропускания). Это определение особенно важно при фильтрации случайных сигналов, так как относящиеся к идеальным фильтрам теоретические заключения применимы и в случае практических фильтров с идентичной шумовой полосой [4, 24].

Ширина полосы по уровню спада на 3 дБ или ширина полосы 3 дБ полосового фильтра определена шириной характеристики передачи мощности в точках, находящихся на уровне на 3 дБ ниже номинального (равного 0 дБ) уровня в полосе пропускания. По существу ширина полосы 3 дБ часто почти идентична ширине шумовой полосы. Поскольку ширину полосы 3 дБ легко определить экспериментальным путем, она находит широкое применение в качестве параметра, отображающего ширину полосы пропускания практических фильтров. Ширина полосы 3 дБ особенно важна при фильтрации детерминированных сигналов, так как она дает представление о разрешении при выделении синусоидальных составляющих. Отметим, что ширина полосы 3 дБ существенно отличается от ширины шумовой полосы лишь у фильтров с относительно малой избирательностью.

Ширина полосы пропускания фильтра дает представление о его способности выделять составляющие с почти идентичными амплитудами, в то время как избирательность фильтра отображает его способность выделять составляющие с различными амплитудами. Основным параметром, выражающим меру избирательности фильтра, является так называемый «коэффициент формы» или «форм-фактор». Форм-фактор определен отношением ширины кривой амплитудно-частотной характеристики фильтра в точках, в которых ослабление равно 60 дБ, к ширине полосы 3 дБ (рис. 4.7)  , для ослабления сигнала на 40 Дб «форум фактор» будет определяться  (см. рис. 4.7)  

 

  Рис.

4.7. Форм-фактор полосового фильтра

В некоторых случаях, например в случае, если ширина рабочего динамического диапазона фильтра меньше 60 дБ, можно в качестве меры избирательности использовать форм-фактор 40 дБ. Этот фактор определен аналогичным описанному выше отношением, в котором учитывается соответствующая ослаблению на 40 дБ ширина кривой амплитудно-частотной характеристики фильтра. Отметим, что форм-фактор обычно используется при описании фильтров с постоянной абсолютной шириной полосы пропускания и симметричной при применении линейной шкалы частоты кривой амплитудно-частотной характеристики. Однако этот параметр допускает более широкое применение использования, например, когда применяется и логарифмическая шкала частоты полосы пропускания..

При описании фильтров с постоянной относительной (процентной) шириной полосы пропускания, кривые амплитудно-частотной характеристики которых симметричны в случае логарифмической градуировки шкалы на оси частоты, более часто используется параметр, называемый «октавной избирательностью». Этот параметр отображает ослабление фильтра в точках, находящихся на октаву ниже и выше средней частоты полосы пропускания последнего (рис. 4.8).

4.8. Октавная избирательность полосового фильтра

Время отклика фильтра При внезапном приложении сигнала на вход фильтра нужно определенное время до получения соответствующего отклика на выходе последнего. В случае, если поступающий на вход фильтра сигнал является синусоидальным сигналом с частотой внутри полосы пропускания этого фильтра, то установившийся сигнал на выходе последнего также будет синусоидальным сигналом с частотой и амплитудой, идентичными частоте и амплитуде входного сигнала (при предположении равного 0 дБ затухания в полосе пропускания фильтра). Время, нужное для достижения окончательного значения амплитуды установившегося выходного сигнала, обратно пропорционально ширине полосы пропускания фильтра, т.е. 1/ В, где В - ширина полосы пропускания. По существу суммарное время отклика фильтра определено суммой так называемого «мертвого» времени, зависящего как от ширины полосы пропускания, так и от числа полюсов передаточной функции фильтра, и времени нарастания, которое зависит только от ширины полосы пропускания фильтра. Передаточные функции большинства практических полосовых фильтров имеют четыре или шесть полюсов, так что их время отклика можно в приближении положить равным обратному значению ширины полосы пропускания В. Следовательно,

ВТ_R ≈ 1,                                                          (4.1)

где Т_R – время отклика фильтра.

Отметим, что путем модифицирования выражения (4.1) можно получить

(B/f) ∙ (fT_R) ≈ 1                                                      (4.2)

т.е. bп_R ≈ 1, где b - относительная ширина полосы пропускания,   n_R - число периодов сигнала с частотой f втечение времени Т_R. Например, для b = 1 %   п_R ≈ 100.

Рис. 4.9. Отклик практического третьоктавного фильтра на внезапно приложенный синусоидальный сигнал (временной сигнал)

Выражение (4.1) хорошо подходит для фильтров с постоянной абсолютной шириной полосы пропускания, в то время как выражение (4.2) эффективно в случае фильтров с постоянной относительной шириной полосы пропускания. Отметим, что выражения (4.1) и (4.2) подтверждают упомянутое раньше требование, заключающееся в том, что время нужное при практической фильтрации с учетом полосы шириной В должно превышать 1/В.

На рис. 4.9 показан отклик практического третьоктавного фильтра на внезапно приложенный синусоидальный сигнал. Так как ширина полосы третьоктавного фильтра равна 23,1% от средней частоты этой полосы, вычисленное время отклика соответствует 4,3 периодам входного синусоидального сигнала. Однако в зависимости от учитываемой погрешности практическое значение времени отклика такого фильтра соответствует 5 или даже 6 периодам входного сигнала. Это дает представление о степени точности выражений (4.9) и (4.10), несмотря на то, что третьоктавный фильтр с имеющей вид острого пика кривой амплитудно-частотной характеристики относится к наиболее неблагоприятным случаям.

Рис. 4.10. Иллюстрация постепенного приложения синусоидального сигнала на вход перестраиваемого фильтра

Другое важное затруднение, встречающееся именно при применении перестраиваемых фильтров, заключается в том, что синусоидальный сигнал не прилагается на вход фильтра внезапно (как это имеет место у идеальных фильтров), а его приложение происходит постепенно по мере перемещения наклонного участка кривой амплитудно-частотной характеристики фильтра к синусоидальной составляющей (см. рис. 4.9). Однако, на основе выражений (4.1) и (4.2) можно с достаточной точностью оценить временную задержку, связанную с применением перестраиваемых фильтров при частотном анализе. Погрешность такой оценки достаточно мала для практики, когда результат служит для определения других практических параметров, например, скорости перемещения бумаги графического самописца, которая зачастую поддается лишь дискретной настройке с относительно большим шагом (например, с соответствующим отношению 1:3 шагом).

 

ДЕТЕКТОРЫ

Претерпевший фильтрацию сигнал является сигналом переменного тока, амплитуда которого непрерывно изменяется во времени. Чтобы получить амплитуду соответствующей составляющей спектра, необходимо определить присущую упомянутому сигналу мощность. Соответствующие операции можно осуществить в соответствии с математическим определением, т.е. путем возведения в квадрат мгновенных значений амплитуды упомянутого сигнала и затем усреднения получаемых результатов на протяжении заданного интервала времени (времени усреднения). Флуктуации результирующего среднего значения уменьшаются по мере роста времени усреднения. Однако увеличение этого времени обусловливает увеличение занимаемого соответствующим процессом времени. На практике часто нужно определить среднее квадратическое значение (СКЗ) уровня волнового поля, как интегральную оценку уровня вибрационного или акустического динамического процесса. Энергия волнового поля и размерность волнового сигнала в таком случае соответствует размерности обрабатываемого сигнала, то СКЗ в этом случае будет интегральной оценкой при его измерении. Определение СКЗ также имеет преимущество с точки зрения формирования программы обработки сигнала, т.к.  диапазон выходного напряжения  в сигнале соответствует увеличенному вдвое диапазону уровней амплитуды колебаний  (дБ) и, следовательно, способствует расширению в оценке общего рабочего динамического диапазона исследований волнового поля.

На основе отображающего в СКЗ сигнала можно путем логарифмического преобразования определить окончательный результат уровня энергии волнового поля любого источника в децибеллах (дБ). Все названное  выше и рассматриваемые далее операции можно осуществить электронным путем. Соответствующие электронные устройства, называемые детекторами, осуществляют нужную обработку сигналов и отдают результаты, аппроксимирующие теоретические величины с малой погрешностью.

 

Возведение в квадрат

Все высококачественные детекторы, т.е. так называемые «среднеквадратичные детекторы» или «детекторы истинных СКЗ», тем или иным способом возводят в квадрат поступающие на их входы сигналы. С другой стороны, детекторы, называемые «детекторами средних значений», осуществляют только выпрямление (аппроксимация возведения в квадрат) и затем усреднение обрабатываемых сигналов. Нужно подчеркнуть, что несмотря на точно определенное соотношение между средним (арифметическим) значением и СКЗ синусоидального сигнала, среднее значение более сложных сигналов зависит от фазовых соотношений между их спектральными составляющими, в то время как СКЗ находится вне этой зависимости.

В аппаратуре фирмы Брюль и Кьер в течение длительного времени использовались аналоговые среднеквадратичные детекторы, конструкция которых была основана на принципе детектора Вармана, осуществляющего возведение в квадрат (усредненного) сигнала при помощи аппроксимируемой несколькими прямыми параболической характеристики [5, 9, 24]. На рис. 4.11 показаны параболические характеристики такого среднеквадратичного детектора и являющиеся их аппроксимациями комбинации прямых линий. Причина применения нескольких параболических характеристик связана с используемым методом извлечения квадратного корня. Однако целесообразно подробно рассмотреть одну параболическую характеристику, соответствующую определенному среднеквадратичному уровню. Учитывая определенную параболическую характеристику детектора, легко видеть, что увеличение амплитуды входного сигнала сопровождается перемещением рабочей точки по параболе и что за последней точкой пересечения аппроксимирующих прямых по мере роста амплитуды сигнала увеличивается разность между истинным и определяемым детектором СКЗ, т.е. присущая детектору погрешность определения СКЗ. Отношение пикового значения к СКЗ называется «амплитудным коэффициентом» или «пик-фактором» сигнала. Можно доказать, что по мере роста числа точек пересечения прямых, аппроксимирующих параболическую характеристику, увеличивается допустимый пик-фактор обрабатываемых детектором СКЗ сигналов. Например, детектор с параболической характеристикой с 4 точками пересечения аппроксимирующих прямых способен обрабатывать с погрешностью до 0,5 дБ сигналы с пик-фактором до 5.

Рис.  4.11. Параболические характеристики среднеквадратичного детектора и являющиеся их аппроксимациями комбинации прямых линий

В новой аппаратуре фирмы Брюль и Кьер используются другие детекторы, называемые логарифмическими среднеквадратичными детекторами. Конструкция логарифмического среднеквадратичного детектора основывается на логарифмической характеристике некоторых диодов. Используемый в конструкции такого детектора диод осуществляет логарифмическое преобразование обрабатываемого сигнала. Умножение на 2 претерпевшего преобразование сигнала равносильно его возведению в квадрат. Усреднение осуществляется после экспоненциального (антилогарифмического) преобразования отдаваемого умножителем сигнала. Напряжение на выходе детектора пропорционально логарифму СКЗ обрабатываемого сигнала и, следовательно, оно соответствует условию перевода шкалы из электрических единиц амплитуды сигнала в децибельную шкалу, т.е. уровень энергии вибрационного или акустического волнового поля объекта измеряется в дБ. По сравнению с описанным выше среднеквадратичным детектором (детектором Вармана) логарифмический среднеквадратичный детектор в отношении возведения в квадрат является истинным квадратором, допускающим высокоточную обработку сигналов с большими значениями пик-фактора.

Усреднение сигнала

Цель усреднения заключается в устранении флуктуаций возведенного в квадрат и усредненного сигнала и, следовательно, в обеспечении сигнала, пропорционального среднему значению мощности, а при частотном анализе и оценке значения спектральной плотности мощности. Нужно подчеркнуть, что при анализе Фурье предполагается интегрирование по времени в бесконечных пределах.

Соответствующую операцию можно описать выражением в котором символом обозначено среднее значение:

                                   (4.3)

Понятно, что на практике необходимо ограничить длительность процесса усреднения и, следовательно, учитывать конечное время усреднения. Последствия применения конечного времени усреднения рассматриваются ниже.

Применение конечного времени усреднения равносильно устранению операции бесконечного увеличения предела из выражения (4.3), непосредственным последствием которого являются флуктуации результирующего среднего значения. Эти флуктуации уменьшаются по мере роста времени усреднения. Подавление флуктуации можно рассматривать как фильтрацию фильтром нижних частот. Соответствующий процесс иллюстрирует рис. 4.12 для случая синусоидального сигнала с частотой f₀ и амплитудой А.

На рис. 4.12,(а) показан исходный косинусоидальный сигнал во временной и частотной областях, а на рис. 4.12, (б) – сигнал, полученный в результате возведения

Рис. 4.12. Усреднение как фильтрация фильтром нижних частот

 

в квадрат исходного сигнала, и соответствующий этому преобразованию частотный спектр. Отметим, что показанный на рис. 4.12, (б) частотный спектр также можно получить путем свертки показанного на рис. 4.12, (а) спектра с тем же спектром, т.е. путем операции, эквивалентной умножению исходного косинусоиального сигнала на тот же сигнал. Следовательно, полученный в результате свертывания спектр содержит лишь составляющие, соответствующие совпадению по меньшей мере двух дельта-функций исходного спектра, т.е. составляющие с частотами  0, + 2 f₀ и - 2 f₀. В случае f = 0 наблюдается совпадение двух пар дельта-функций, так что соответствующая составляющая результирующего спектра принимает значение А²/4 + А ²/4 = А ² / 2. При f= ± 2 f₀ совпадают друг с другом дельта-функции, присущие положительной и отрицательной частотам свертываемых спектров, а соответствующие составляющие результирующего спектра принимают равные А²/ 4значения. Очевидно, что истинное среднее значение равно значению присущей нулевой частоте составляющей на рис. 4.12(б), т.е. А²/ 2. Эту составляющую можно выделить путем фильтрации возведенного в квадрат сигнала соответствующим фильтром нижних частот.

Рис. 4.12, (в) иллюстрирует фильтрацию фильтрами нижних частот с отличающимися друг от друга значениями частоты среза. Фильтр с более низкой частотой среза способствует более эффективному подавлению пульсаций (уменьшению флуктуаций) и, следовательно, его применение эквивалентно увеличению времени усреднения.

 Связь между характеристиками фильтра нижних частот и эффективным временем усреднения подробно рассматривается ниже (см. рис.4.13). Из выражения (4.3) следует, что определенное на протяжении конечного и простирающегося от -Т/ 2до + Т/ 2временного интервала среднее значение функции у(t) определяется интегральным выражением от мгновенного значения данной функции. В общем, текущее среднее значение, получаемое в момент I в результате усреднения на протяжении временного интервала Т, дается выражением

                                             (4.4).

  Однако, выражение (4.4) можно записать в виде формулы свертки, т.е.

                                            (4.5)

в котором функция g(t) определена следующим образом:

g(t) = 1при 0 <τ<Т; g(t) = 0 при других значениях t.                  (4.6)

Для более понятного представления на рис. 4.13, (б – д) показаны функции g (t), g (-t), g (T – t) и y (t) g (T – t).

Свертыванию оригиналов во временной области соответствует перемножение изображений (трансформант Фурье) в частотной области. Спектр амплитуды определенной выражением (4.6) прямоугольной функции g (t)имеет вид функции   имеющей нулевые значения при равных кратным 1/T  частотах и, по существу, идентичной (с учетом соответствующего масштабного коэффициента) амплитудно-частотной характеристике фильтра  -20 дБ/дек. нижних частот с наклоном от частоты среза равной 1/πT. Соответствующая положительным значениям частоты половина кривой этой характеристики показана на рис. 4.14 в логарифмическом масштабе. Отметим, что нулевые точки, соответствующие кратным 1/T, также соответствуют целочисленным значениям числа периодов. Следовательно, интегрирование на протяжении любого целого числа периодов совершенно аннулирует все флуктуации. Отметим, что фазовая характеристика трансформаты Фурье функции g(t) вообще не влияет на пропускаемую мощность и сказывается лишь на сдвиге фазы составляющей, соответствующей пульсации.

На основе сравнения выражения (4.5) с выражением (4.4) можно заключить, что определенная выражением (4.6) функция g (t)по существу соответствует импульсной характеристике устройства, осуществляющего текущее линейное усреднение на протяжении временного интервала Т. Однако создание устройства с

 

Рис. 4.13. Текущее усреднение как свертка:  а - д – линейная весовая функция;

е – к – экспоненциальная весовая функция

 

такой импульсной характеристикой связано с большими практическими затруднениями и именно по этой причине на практике используются другие электронные устройства, работающие в качестве интеграторов или фильтров нижних частот. Одно из простейших и широко используемых электронных интегрирующих устройств имеет вид простой резистивно-емкостной цепи (RC -цепи) с импульсной характеристикой:

                                                (4.7)

Усреднение, осуществляемое с помощью устройств с определенной выражением (4.7) импульсной характеристикой, называется КС-усреднением, усреднением по показательному закону или экспоненциальным усреднением.

Отметим, что устройство с импульсной характеристикой в виде спадающей экспоненциальной функции в процессе усреднения придает наибольший вес самым последним участкам обрабатываемых сигналов.

На рис. 4.13, е –  к показан  процесс и результат свертывания с упомянутой экспоненциальной функцией,  что можно  сопоставить с рис. 4.13, а – д, относящимися к прямоугольной весовой функции согласно выражению (4.6).

Для  сравнения экспоненциальной и прямоугольной весовых функций (рис. 4.14)  масштаб соответствующих кривых выбран так, что Т= 2RC и, следовательно, площадь снизу обеих кривых идентична. Интеграторы с такими характеристиками и параметрами, удовлетворяющими выражению Т = 2 RС, отдают идентичные результаты при усреднении стационарных сигналов. Кроме того, их амплитудно-частотные характеристики имеют в частотной области идентичные как асимптоты, так и эффективные ширины полосы (см. рис. 4.14).

Рис. 4.14. Сравнение линейного и экспоненциального (КС) усреднения в частотной области

 

Отметим, что определяющее выражение амплитудно-частотной характеристики, соответствующей экспоненциальной импульсной характеристике согласно выражению (4.7) приведено в графическом виде на рис. 4.15, из которого следует, что при усреднении сигнала с их помощью приводят к одним и тем же результатам. Таким образом, для времени усреднения, равного нескольким периодам колебаний  (практическое условие уменьшения амплитуды до приемлемого значения), ввиду идентичных асимптот амплитудно-частотных характеристик упомянутых выше фильтров нижних частот максимальная амплитуда колебаний при линейном усреднении на протяжении временного интервала Т_А идентично максимальной амплитуде колебаний при экспоненциальном усреднении равной RС постоянной времени, причем

Т_А = 2RС                                          (4.8)

Следовательно, выражение (4.8) определяет эквивалентное время усреднения КС-схемы при обработке синусоидальных сигналов.

Рис. 4.15. Весовые функции, учитывающие в экспоненциальном (RC) усреднения

Колебания при усреднении на протяжении временных интервалов, длительность которых соответствует различным числам периодов, показаны на рис. 4.16.  При усреднении узкополосного случайного шума (например, шума,  получаемого путем фильтрации широкополосного шума узкополосным фильтром),

 

Рис. 4.16. Колебания при линейном и экспоненциальном (RС) усреднении возведенных в квадрат синусоидальных сигналов

справедливо, что относительная флуктуация (вариация) результата пропорциональна шумовой полосе используемого фильтра нижних частот. Выше было показано, что шумовая полоса фильтра с определенной выражением | sin х/х | амплитудно-частотной характеристикой (прямоугольная импульсная характеристика с интервалом T) равна 1/ Т.

Выражение (4.8) также определяет эквивалентное время усреднения при обработке стационарных случайных сигналов. Идентичное выражение также справедливо для серии импульсов (рис. 4.17). Следовательно, можно заключить, что выражение (4.8) определяет эквивалентное время усреднения при обработке всех  сигналов.

Рис. 4.16 и 4.17 можно использовать при определении времени усреднения, нужного при обработке детерминированных сигналов, на основе заданного уровня амплитуды колебаний. При обработке случайных сигналов нужно обратиться к

Рис. 4.17. Колебания при линейном и экспоненциальном усреднении импульсных сигналов

другому методу. Показано, что при обработке узкополосного случайного шума с полосой шириной В среднеквадратичным детектором с постоянной времени усреднения Т_А относительное стандартное отклонение результата, т.е. доверительный интервал (σ) среднего квадратического значения, определяется выражением

(для ВТ_А» 1)                      (4.9)

С учетом логарифмической градуировки в децибаллах (дБ), выражение (4.9) можно записать в виде

                                               (4.10)

Рис. 4.18. Влияния времени усреднения на распределение погрешностей

Кривые на рис. 4.18, соответствующие трем значениям времени усреднения, иллюстрируют практическое значение выражения (4.9). Результат обработки случайного сигнала является случайной переменной, кривая плотности вероятности которой сужается и все более приближается к истинному значению (т.е. теоретическому значению при бесконечном времени усреднения) по мере роста времени усреднения.

 Следовательно, даже при уменьшении времени усреднения можно получить достаточно точный результат, но во всяком случае за счет уменьшения достоверности. Путем интегрирования различных участков кривой плотности вероятности можно добиться заключения, что одиночная оценка будет с вероятностью 68,3 +% находиться в расположенном симметрично относительно истинного значения интервале шириной ± σ.   Аналогичным   интервалам  шириной ± 2 σ и ± 3 σ соответствуют равные 95,5  и 99,7 % значения вероятности.

Нужно подчеркнуть, что определенная выражением (4.10) эквивалентность не справедлива при обработке кратковременных сигналов. Анализ кратковременных сигналов будут осуществляться в последующих  разделах.