Эргодические случайные процессы

Определить характеристики случайного процесса можно путем усред­нения по ансамблю в определенные моменты времени. Возьмем, например, k - ю выборочную функцию ансамбля (рис. 3.9). Среднее значение μ_x (k), вычисленное по k -й реализации определяется выражением (3.12).

Если случайный процесс { x (t)} стационарен,а μ_x (k),вычисленное по различным реализациям согласно формуле (3.12), совпадают, то случайный процесс называется эргодическим. Для эргодических процессов средние зна­чения, полученные усреднением по времени (как и другие характеристики, вычисленные усреднением по времени), равны аналогичным характеристи­кам, найденным усреднением по ансамблю, т. е. μ_x(k) = μ _x. Свойством эрго­дичности могут обладать только стационарные процессы (см. рис. 3.9).

Стационарный процесс будет эргодическим, если его статистические характеристики, полученные осреднением по ансамблю, с вероятностью, близкой к единице, равны тем же характеристикам, полученным осреднением по времени из любой достаточно длинной реализации случайного процесса. При нарушении этого условия колебательный процесс будет неэргодическим.

Другими словами, эргодическим называется случайный стационарный процесс, для которого результаты усреднения по времени в пределах отдель­ной реализации одинаковы для всех реализаций. Таким образом, усреднение по времени для любой отдельной реализации эквивалентно соответствующе­му усреднению по ансамблю реализаций.

Очевидно, что случайные эргодические процессы образуют очень важ­ный класс случайных процессов, поскольку все свойства эргодических про­цессов можно определить по единственной выборочной функции. На практи­ке случайные стационарные процессы обычно оказываются эргодическими. Именно по этой причине свойства случайных стационарных явлений часто можно определить по одной наблюдаемой реализации. Для любой реализации x_k (t)случайного стационарного процес­са { x_k (t)}, где k = 1, 2,3,... – номер реализации, средний квадрат определяется равенством

                                                          (3.13)

 Рис. 3.9. Ансамбль реализаций, задающих случайный процесс

Для эргодического  процесса  результат выборки  не должен зависеть от ее номера (k)и будет одним и тем же для всех реализаций. Соответствующее среднее по ансамблю значение определяется равенством

,                                                    (3.14)

и в случае стационарного процесса не зависит от t. Для эргодического про­цесса оба усреднения дают одинаковый результат.

В общем случае результаты усреднения по любой отдельной реализации процесса не характеризуют свойство ни одной из его реализаций, по­скольку информация о зависимости свойств процесса от времени в результа­те такого усреднения утрачивается.

Принято считать, что случайный процесс э ргодичен, если с вероятностью, рав­ной единице, все его статистические характеристики можно предсказать по одной реализации из ансамбля с помощью усреднения по времени. Иными словами, средние значения по времени почти всех возможных реализаций процесса с вероятностью единицы сходятся к одной и той же постоянной ве­личине – среднему значению по ансамблю.