Геометрическая интерпретация

Определение предела функции в точке.

Запись определение предела, с использованием математической символики.

Геометрическая интерпретация.

Рассмотрим классическое определение предела   (по Коши), которое во многих учебниках носит название определение предела . Существование конечного предела А  у функции при стремлении  обозначается следующим образом:

 или в математической символике представляет собой следующую запись:

Так как , то  находится как можно ближе к , но при этом   (, размер окрестности определяется величиной дельта .

Аналогично, изображается стремление функции    к  конечному пределу А.

Понятно, что эпсилон  и дельта  в данном определении предела  величины положительные и  сколь угодно малые и обозначаются маленькими буквами греческого алфавита.

Рассмотрим односторонние пределы. В этом случаи переменная  стремится к конечному значению   либо только слева, либо только справа. Геометрическая интерпретация выглядит следующим образом:

Стремление справа означает:                           Стремление слева означает: 

Рассмотрим определение предела функции при стремлении переменной  к бесконечности . Существование конечного предела А у функции при стремлении  обозначается следующим образом:

 или в математической символике представляет собой следующую запись:

Так как  стемится к бесконечности, величина дельта есть сколь угодно большое число и для наглядности в этом случае используем большую букву греческого алфавита. Геометрическая интерпретация выглядит следующим образом:

 функция  стремится к конечному пределу А и величина эпсилон   есть сколь угодно малая (рис.2).

Аналогично рассмотрим определение предела функции при стремлении переменной  к плюс и минус бесконечности. Так как  стремится к плюс или минус бесконечности, величина дельта есть сколь угодно большое число и для наглядности в этом случае используем большую букву греческого алфавита. Геометрическая интерпретация выглядит следующим образом:

при стремление                   и            при стремление

Рассмотрим определение предела функции равного бесконечности, при стремлении переменной к конечной величине  Существование бесконечного предела у функции при стремлении  обозначается следующим образом:

 или в математической символике представляет собой следующую запись:

Так как  стемится к конечной величине , величина дельта есть сколь угодно малая и для наглядности в этом случае используем малую букву греческого алфавита. Предел функции стремится к бесконечности и величина эпсилон сколь угодно большое число, то обозначаются её большой буквой греческого алфавита.  Геометрическая интерпретация выглядит следующим образом:

В таблице 1. представлены все возможные варианты предела функции 

с определением предела через математическую символику и геометрической интерпретацией.

Таблица 1.

№	Предел функции	Определение предела    использующее                         математическую символику	Геометрическая интерпретация  предела функции
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

Литература

1. Вся высшая математика. Том 1. Краснов М.Л., Киселев А.И. и др.,М.: Из-во: Едиториал УРСС, 2002. — 328 с.

2. Математический анализ. Начальный курс/В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Под ред. А. Н. Тихонова,— 2-е изд., перераб., — М.: Изд-во МГУ, 1985. — 662 с.