Введем пространство скоростей. Скорость любой молекулы газа можно представить через её проекции , и на соответствующие оси системы координат в пространстве скоростей. Если указанные значения отложить по осям , и прямоугольной системы координат, то можно построить пространство скоростей, каждая точка в котором будет соответствовать определенному набору проекций скорости молекулы газа (см. рис. 5.3).
Рис. 5.3. Пространство скоростей |
Далее сделаем предположение, что вероятности попадания значений проекций скорости молекулы , и в соответствующие интервалы , и не зависят друг от друга, то есть значения проекций скорости молекул на ортогональные оси считаются статистически независимыми величинами. Тогда по аналогии с формулой функцию распределения можно представить в виде:
, |
где , и - функции распределения значений соответствующих проекций скорости , и , причем вид этих функций должен быть одинаковым, так как все оси системы координат в пространстве скоростей равноправны.
Прологарифмируем выражение :
. |
Подстановка в него формулы, связывающей величину скорости и значения её проекций
, |
приводит к единственно возможному выражению для функции распределения:
или
, |
что полностью совпадает с формулой , полученной на основе применения принципа детального равновесия.
Соответственно функция распределения для значений проекций скорости приобретает вид:
. |
Здесь константы и можно определять, исходя из условия нормировки и значения среднего квадрата скорости хаотического движения молекул газа .
Введем следующие обозначения:
, |
с учетом которых функция приобретет вид:
. |
В соответствии с условием нормировки можно записать:
. |
Для нахождения интеграла можно использовать интеграл Пуассона:
, |
применение которого дает
. |
Второе условие, которое может быть использовано для нахождения неизвестных констант, является следствием определения средней кинетической энергии молекул газа через его температуру для случая одномерного движения:
. |
Использование правила нахождения среднего значения дает
, |
или с учетом формулы
. |
Интеграл в выражении может быть проинтегрирован по частям с использованием интеграла Пуассона:
Подстановка получившегося выражения в дает:
, |
или
. |
Соответственно коэффициент принимает вид
. |
Таким образом, функция распределения значений проекции скорости приобретает форму
, |
а функция распределения молекул газа по скоростям соответственно вид
или
. |
Функции и
(или ) называются функциями распределения Максвелла. Качественно вид функции ,
изображенной на рис. 5.4, совпадает с нормальным законом распределения Гаусса, описывающим распределение ошибок измерений случайной величины.
Рис. 5.4. Распределение Максвелла |
Кроме полученного выше распределения Максвелла часто при проведении расчетов используется распределение по абсолютным значениям скоростей молекул газа. Для получения этого распределения запишем в общем виде вероятность того, что значения проекций скорости лежат внутри элементарного объема пространства скоростей :
. |
Учитывая то, что эта вероятность зависит только от величины скорости и не зависит от её направления в пространстве, элементарный объем можно считать имеющим форму шарового слоя со средним радиусом и толщиной . Указанная возможность связана с тем, что в любой точке на поверхности сферы, центр которой совпадает с началом координат пространства скоростей, значения скорости , а следовательно и функции , одинаковые. Считая шаровой слой тонким, и записывая его элементарный объем в виде: , выражение может быть представлено в форме
. |
Функция
или
называется функцией распределения Максвелла по абсолютным значениям скоростей, и она показывает вероятность того, что величина скорости имеет значения от до .
На рис. 5.5 изображен график функции распределения . Максимум этой функции соответствует наиболее вероятному значению скорости молекул газа , которую можно определить, приравняв к нулю производную от функции :
. |
Отсюда следует, что кроме случаев когда и , соответствующих минимуму функции , имеется решение
, |
дающее выражение для наиболее вероятной скорости молекул газа.
Рис. 5.5. Распределение Максвелла по абсолютным значениям скоростей |
Кроме наиболее вероятной скорости, функция позволяет найти среднюю скорость
и среднее значение квадрата скорости
. |
Вычисление интегралов окончательно дает выражения для средней скорости
и для средней квадратичной скорости молекул
. |
Формула для средней квадратичной скорости может быть также получена на основании формулы , описывающей среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа (см. вывод формулы ).
Полученные значения скоростей численно отличаются друг от друга на величину, меньшую, чем их значения, причем , что проиллюстрировано на рис. 5.5.
Кроме функции распределения по абсолютным значениям скорости применяется функция распределения по значениям кинетической энергии поступательного движения молекул , характеризующая вероятность попадания значений кинетической энергии в интервал :
. |
Приравняв вероятности или , и используя подстановку и , имеем:
. |