Основные правила вычисления производных

Опорный конспект по теме «Производная»

Таблица производных элементарных функций

Функция	Производная
Постоянная
Степенная
Показательная
Экспоненциальная
Синус
Косинус
Тангенс
Котангенс
Логарифмическая
Натуральный логарифм

Геометрический и механический смыслы производной.

Геометрический смысл производной состоит в существовании в точке графика непрерывной функции невертикальной касательной, угловой коэффициент которой равен тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс ).

Механический смысл производной состоит в том, что ,

Основные правила вычисления производных

Название правила	Математическое описание
Производная суммы функций
Производная разности функций
Производная произведения функций
Производная частного функций
Производная сложной функции

 

1.:
Пример 1.

На рисунке изображён график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

 

Пример 2.
Функция определена на отрезке [-4;4]. На рисунке изображён её график.

а). Найдите точку минимума этой функции на интервале

(-3;3).

б) В какой точке она принимает своё наименьшее значение?

Пример 3.
На рисунке изображён график производной функции. Найдите точку максимума функции на отрезке [-6;6].

 

Пример 4.
Функция определена на интервале (-8;8). На рисунке изображён график её производной. а) Найдите длину наибольшего промежутка возрастания функции б). Найти количество точек экстремума на этом интервале.
в). Найдите сумму точек экстремума этой функции.
Пример 5.
Функция определена на интервале (-6;3). На рисунке изображён график её производной. В какой точке отрезка [-3;2] функция принимает наибольшее значение?

Примечание: При решении задач подобного вида (примеры 2-5) следует внимательно прочитать условие и отметить, что на чертеже изображён либо график функции, либо график её производной.

 

 

Пример 6. На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. а)В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна? б)В скольких точках производная f(x) положительна?

Пример 7. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x).
На оси абсцисс отмечены шесть точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6.
Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?

Пример 8.
На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки A, B, C и D на оси Ox. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.

 

 

Пример 10. На рисунке изображён график функции y=f(x). Точки a, b, c, d и e задают на оси Ox интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.

 

Интервалы   Характеристики функций и её производной А) (a; b) Б) (b; c) В) (c; d) Г) (d; e) А B С D                   Под каждой буквой укажите соответствующий номер.   1) значения функции положительны в каждой точке интервала 2) значения производной функции отрицательны в каждой точке интервала 3) значения производной функции положительны в каждой точке интервала 4) значения функции отрицательны в каждой точке интервала