Анализ цепи после коммутации

Проведем анализ цепи после коммутации в следующей последова- тельности.

1. Составление схемы замещения цепи после коммутации.

 

Схема замещения цепи после коммутации приведена на рис.14.7а.

 

Рис.14.7. а – схема цепи после коммутации; б – операторная схема замещения цепи после коммутации.

 

2. Составление операторной схемы замещения цепи после комму- тации.

 

Операторная схема замещения цепи после коммутации приве- дена на рис.14.7б. В этой схеме использована последовательная операторная схема замещения С-элемента. Параметры элементов операторной схемы замещения равны:

E ₁(s) = E

= 6;

u_C (0-) = 6;

Z ₁(s) = Z _{R 1}(s) = R ₁ = 2 ×10³

Ом;

s s       s      s

Z ₂(s) = Z _{R 2}(s) = R ₁ = 4 ×10³ Ом;

3. Определение U_C (s).

Z_C (s) = 1 / (Cs) = 10⁵ / s

Ом.

 

Схема рис.14.7б имеет только 2 узла, поэтому для определе-

ния напряжения

узловой схемы

U_C (s) целесообразно использовать формулу двух

E ₁(s) +  u _C (0-) 1

E + E Cs

U _C (s) =

Z ₁(s)    s  Z _C (s) = R ₁ s s   .

              

1 + 1 + 1      1 +

1 + Cs

Z ₁(s)

Z ₂(s)

Z _C (s)

R ₁ R ₂

Вынося E в числителе и умножая числитель и знаменатель на s, можно найти

1 + Cs                                            s +  G 1

 

U _C (s) = E

R ₁

 

s æ 1 +  1 +  Cs ö

=  E G ₁ + Cs

s (G_Э  +  Cs)

= E      C,

s (s + GЭ)

 

ç R 1  R 2     ÷                                           C

где

è                    ø

G ₁ = 1 / R ₁, G ₂ = 1 / R ₂, G_Э = G ₁ + G ₂.

 

4. Определение

I _C (s).

 

По обобщенному закону Ома в операторной форме (уравне- нию E,Z-ветви) можно записать

U C (s) -  u_C (0-)

I _C (s) = s             = CsU _C (s) - Cu _C (0-),

Z_C (s)

I _C (s) ¯­ uC (0-).

s

Подставив в последнее уравнение выражение для U_C (s)

и равен-

ство

u_C (0-) = E

можно найти

I _C (s) = -

CG ₂ E

= - G 2 E.

G_Э  +  Cs    s +  GЭ

С

5. Определение искомых величин (оригиналов найденных изобра- жений).

 

Разложим U_C (s)

на простые дроби:

Для этого найдем корни полинома знаменателя U_C (s):

s ₁ = 0, s ₂ = - G_Э / C = -1 / R_ЭC = -75 c ^-1, где

R_Э = 1/ G_Э. Откуда

U _C (s) = A + B.

             

 

Величина А равна

s s - s ₂

A = [ sU _C (s)]

= E G 1 = E 1

= 6 1

= 4.

 

 

Величина B равна

S =0      GЭ

1 + R 1

R ₂

1 + 0, 5

é s +  G 1 ù

B = [(s - s  ) U (s)] = ê E C ú            =

2 C    S = S 2   ê    s ú

ê           ú

ë           û  S =- GЭ  / С

= E (1 -

G 1) = E G 2 = E  1

                                       

= 2.

 

 

Откуда

G_Э    G_Э

1 + R 2

R ₁

U _C (s) = 4 + 2.

             

s s - s ₂

Этому изображению соответствует оригинал

u_C (t) = L ^-1 é 4 +

 

2 ù =  L -1 é 4 ù +  L -1 é

 

2 ù =

 

ê  s s - s ₂ ú

êë  s úû

ê  s - s ₂ ú

ë             û                       ë      û

= 4 ×1(t) + 2 ×1(t) e ^{s 2 t} = 4 ×1(t) + 2 ×1(t) e ^{-75 t} В.

Определим теперь ток

i_C (t).

é            ù

i (t) = ^-1

-1                    -1 ê

G ₂ E ú

 

ú

-(G Э /C) t

C       L [ I _C (s)] = L [ I _C (s)] = L

ê-

ê s +

GЭ ú = - G ₂ E 1(t) e

 

 

И в числовой форме

 

 

i_C (t) = -1,5×

ë

 

-3

10 1(t) e

С û

 

-75 t А.

 

 

6. Проверка.

Пусть t = 0 +: u_C (0+) = 6 В. Получили, что u_C (0+) = u_C (0-) и за-

кон коммутации для С-элемента выполняется. Пусть теперь t = ¥, в

этом случае

u_C (¥) = 4

В. Напряжение

u_C (¥)

соответствует уста-

новившемуся режиму постоянного тока, в который цепь перейдет после окончания переходного режима. В этом режиме С-элемент

эквивалентен разрыву (ХХ). Так как С –элемент соединен с

R ₂ па-

раллель, то

u_C (¥) = u _{R 2}(¥). Напряжение

u _{R 2}(¥)

можно опреде-

лить по формуле делителя напряжения:

u _{R 2}(¥) =

R ₂

R ₁ + R ₂

E = 4 В.

Таким образом, получили

u_C (¥) = u _{R 2}(¥)

и, следовательно,

напряжение на С-элементе определено правильно.

Решение для тока нения С-элемента

i_C (t)

легко проверить по основному урав-

 

 

Откуда

i_C (t) = C duC

dt

 

-5

=

10 2

i_C (t) = C duC

dt

× (-75)1(t) e ^{-75 t}

.

 

 

= -1, 5×

 

 

-3

10 1(t) e

 

 

-75 t А,

что соответствует полученному результату.

 

7. Графический анализ.