Класс (5 ч в неделю, всего 175 ч)

Введение

Учебники С.М.Никольского и др. [1], [2] отличаются от учебников Н.Я.Виленкина и др. более последовательным построением линии числа, обучением арифметическим способам решения текстовых задач, ориентацией преподавания математики на формирование полных осознанных умений. В них больше внимания уделено доказательности изложения учебного материала, обучению детей доказательствам, развитию мышления и речи школьников, привитию им интереса к занятиям математикой. Указанные отличия влияют на последовательность изучения тем и распределение материала между 5 и 6 классами.

Так как по учебнику Н.Я.Виленкина и др. в 5 классе не изучалась тема "Делимость натуральных чисел" и не в полном объёме изучена тема "Обыкновенные дроби" (изучено сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями), то в программу включены эти темы и их преподавание предполагает использование учебника [1]. Если у учащихся нет учебников [1], то учитель должен вести преподавание по этому учебнику, а задания для классной и домашней работы давать по учебнику для 6 класса Н.Я.Виленкина и др. В то же время, по учебнику Н.Я.Виленкина и др. уже изучены десятичные дроби, учащиеся знакомы с отношениями, пропорциями и процентами, поэтому в 6 классе эти темы потребуют меньшего учебного времени. Учащиеся уже решали уравнения и текстовые задачи с их помощью. Однако для развития мышления и речи и демонстрации разных способов решения задач им стоит показать арифметические способы решения знакомых им задач"на части" и на нахождение двух чисел по их сумме и разности, пользуясь учебником [1].

Изучение чисел в 6 классе завершается знакомством с иррациональными числами. Этот вопрос повторно изучается по учебнику "Алгебра 7" С.М.Никольского и др., поэтому при работе по данной программе учебное время на изучение материала этого параграфа сокращено.

Все указанные и другие различия учтены в программе обучения с переходом на обучение по учебнику [2] в 6 классе после обучения по учебнику Н.Я.Виленкина и др. в 5 классе.

Для успешной работы в 6 классе надо использовать пособия [3] – [6] учебно-методического комплекта (УМК) серии "МГУ – школе". При работе только по одному учебнику [1] или [2] учителя жалуются на недостаток заданий на "отработку умений". Это связано с тем, что до перехода на учебники они чаще всего работали по учебникам Н.Я.Виленкина и др., при этом зачастую формировали неполные умения: в пятом классе изучали сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей, а сравнить, сложить, вычесть дроби и или и учащихся не учили. Изучали действия с десятичными дробями, а учитель должен был долго оберегать своих учащихся от примеров подобных 0,4:0,3. Эффективным можно считать такое обучение, при котором ученик может быть уверен, что он овладел операциями над любыми числами данного множества, может решить не только любой пример учителя, но и сам может составить такие примеры и решить их. Только в этом случае можно говорить о сформированности у ученика полного умения. Для поддержания полного умения тоже требуется время, но не так много, как при формировании неполных умений.

Учителей часто расстраивает, что в учебниках [1] и [2] не выделены классные и домашние задания и задания для повторения. Зачастую они считают, что в учебнике нет заданий для повторения, а это не так. Задания для повторения составляют целый раздел в конце учебника, авторы которого рассчитывают, что учитель лучше их знает потребности своего класса и сам в состоянии спланировать, какие вопросы он будет повторять, в какое время и в какой последовательности. Что же касается заданий для классной и домашней работы, то можно рекомендовать в классе использовать, как правило, задания а), в), д), …, а дома — их аналоги б), г), е),…

Надо учесть, что при изучении в 6 классе тем, частично изученных в 5 классе, сокращено учебное время, поэтому неиспользованные задания из учебника [2] надо использовать для организации повторения при изучении следующих тем. При наличии учебного времени могут быть дополнительно изучены материалы из "Дополнений к главам" учебников [1] и [2].

Следует обратить внимание на пособия, задания из которых существенно дополняют учебник.

"Дидактические материалы" [3] содержат раздел "Материалы для подготовки к самостоятельным работам". Он рассчитан на самоподготовку учащихся. Там же имеются самостоятельные и контрольные работы в четырёх вариантах. Часть заданий из пособия [3] можно использовать в классной и домашней работе.

Многие задания из пособия "Рабочая тетрадь" [4] удобно использовать на начальном этапе изучения материала, когда сокращение времени записи решений с помощью тетради позволяет учащимся выполнить больше заданий и лучше понять новый материал. Пособие содержит и сложные задания.

Пособие "Тематические тесты" [5] позволяют проводить быструю диагностику математической подготовки всего класса или отдельных школьников.

Пособие "Задачи на смекалку" [6] нацелено на развитие интереса к решению задач, к занятиям математикой, оно помогает готовить учащихся к участию в олимпиадах по математике.

"Книга для учителя" [7] содержит описание особенностей преподавания математики по УМК С.М.Никольского и др., в ней даны методические рекомендации по преподаванию каждой темы, описаны возможные затруднения учащихся и пути выхода из них, разобраны решения наиболее трудных задач из учебников [1] и [2]. Книга доступна на сайте shevkin.ru (боковое меню) и на сайте Издательства ПРОСВЕЩЕНИЕ.

класс (5 ч в неделю, всего 175 ч)

1. Делимость натуральных чисел (17 ч). (Глава III учебника [1].)

Свойства и признаки делимости. Простые и составные числа. Делители натурального числа. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.

Основная цель — завершить изучение натуральных чисел рассмотрением свойств и признаков делимости, сформировать у учащихся простейшие доказательные умения.

При изучении данной темы значительное внимание уделяется формированию у учащихся простейших доказательных умений. Доказательства свойств и признаков делимости проводятся на характерных числовых примерах, но методы доказательства могут быть распространены на общий случай, если выбранные числа заменить буквами. При этом учащиеся получают первый опыт доказательства теоретических положений со ссылкой на другие теоретические положения, что готовит учащихся к изучению систематических курсов алгебры и геометрии с 7 класса.

Понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного вводятся традиционно, но следует учесть, что в дальнейшем не всегда требуется сокращать дробь сразу на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя или приводить дроби обязательно к наименьшему общему знаменателю при сравнении, сложении и вычитании дробей.

2. Обыкновенные дроби (45 ч). (Глава IV учебника [1].)

Равенство дробей (основное свойство дроби). Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение, сложение и вычитание дробей. Законы сложения. Умножение дробей, законы умножения. Деление дробей. Смешанные дроби и действия с ними. Представление дробей на координатном луче. Решение текстовых задач арифметическими способами.

Основная цель — сформировать у учащихся умения сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить обыкновенные и смешанные дроби, вычислять значения выражений содержащих обыкновенные и смешанные дроби, решать задачи на сложение и вычитание, на умножение и деление дробей, задачи на дроби и на совместную работу арифметическими способами.

Понятия дроби сформировано в 5 классе, поэтому в 6 классе нужно изучить основное свойство дроби, повторить решение простейших задач, связанных с понятием дроби — задач на нахождение части числа и числа по его части, а также задач, готовящих учащихся к решению задач на совместную работу. При вычислениях с дробями допускается сокращение дроби на любой общий делитель ее числителя и знаменателя (не обязательно наибольший), а также приведение дробей к любому общему знаменателю (не обязательно наименьшему). Но в том и в другом случаях разъясняется, когда вычисления будут наиболее экономными. При изучении данной темы решаются задачи на сложение и вычитание дробей, основные задачи на дроби.

Операция умножения дробей вводится по определению, из которого получается правило умножения натурального числа на обыкновенную дробь. Особое внимание уделяется доказательствам законов сложения и умножения для дробей. Они проводится на характерных числовых примерах с опорой на соответствующие законы для натуральных чисел, но методы доказательства могут быть распространены на общий случай. Законы сложения и умножения используются для рационализации вычислений.

Деление дробей вводится как операция, обратная умножению. Смешанная дробь рассматривается как другая запись неправильной дроби. Вычисления со смешанными дробями изучаются после изучения всех действий с обыкновенными дробями. Следует обратить внимание на терминологическое отличие: термин "числа" используется в учебниках [1], [2] для натуральных чисел и нуля, целых, рациональных, иррациональных, действительных чисел. Термин "дроби" используется для различных записей некоторых из этих чисел. Таким образом, , 1,5, 1,5000… — дроби, разные способы записи рационального числа — в виде смешанной дроби, конечной десятичной дроби, бесконечной десятичной дроби. Использование привычного учащимся термина "смешанное число" не следует считать ошибкой.

На характерных числовых примерах показывается, что площадь прямоугольника и объём прямоугольного параллелепипеда, измерения которых выражены рациональными числами, вычисляются по тем же формулам, что и для натуральных чисел.

Работу с неотрицательными рациональными числами завершает их изображение на координатном луче.

Здесь решаются задачи на умножение и деление дробей, показывается, что рассмотренные ранее задачи на дроби можно решать с помощью умножения и деления на дробь. Задачи на совместную работу выделены в отдельный пункт.

3. Отношения, пропорции, проценты (18 ч). (Глава I учебника [2])

Отношения, масштаб, пропорции, проценты. Круговые диаграммы. Решение текстовых задач арифметическими способами.

Основная цель — сформировать у учащихся понятия пропорции и процента, научить их решать задачи на деление числа в данном отношении, на прямую и обратную пропорциональность, на проценты.

При изучении следующих разделов повторение проводится на фоне включения в учебный процесс важных прикладных задач, связанных с пропорциями и процентами.

Задачи на проценты рассматриваются и решаются как задачи на дроби, показывается их решение с помощью пропорций. После изучения десятичных дробей появится еще один способ решения задач на проценты, связанный с умножением и делением на десятичную дробь.

4. Целые числа (30 ч). (Глава II учебника [2].)

Отрицательные целые числа. Сравнение целых чисел. Арифметические действия с целыми числами. Законы сложения и умножения. Раскрытие скобок, заключение в скобки и действия с суммами нескольких слагаемых. Представление целых чисел на координатной оси.

Основная цель — сформировать у учащихся представление об отрицательных числах, научить их четырем арифметическим действиям с целыми числами.

Введение отрицательных чисел и правил действий с ними первоначально происходит на множестве целых чисел. Это позволяет сконцентрировать внимание учащихся на определении знака результата и выборе действия с модулями, а сами вычисления с модулями целых чисел — натуральными числами — к этому времени уже хорошо усвоены.

Доказательство законов сложения и умножения для целых чисел проводится на характерных числовых примерах с опорой на соответствующие законы для натуральных чисел. Изучение нового множества чисел завершается изображением целых чисел на координатной прямой.

5. Рациональные числа (30 ч). (Глава III учебника [2].)

Отрицательные дроби. Рациональные числа. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия с дробями произвольного знака. Законы сложения и умножения. Смешанные дроби произвольного знака. Изображение рациональных чисел на координатной оси. Уравнения и решение задач с помощью уравнений.

Основная цель — добиться осознанного владения арифметическими действиями над рациональными числами, научиться решению уравнений и применению уравнений для решения задач.

Основное внимание при изучении данной темы уделяется действиям с рациональными числами. На втором этапе изучения отрицательных чисел соединяются сформированные ранее умения: определять знак результата и действовать с дробями. В то же время, учащиеся должны понимать, что любое действие с рациональными числами можно свести к нескольким действиям с целыми числами. Доказательство законов сложения и умножения для рациональных чисел проводится на характерных числовых примерах с опорой на соответствующие законы для целых чисел.

Изучение рациональных чисел завершается их изображением на координатной прямой, введением уравнений. Учащиеся осваивают прием решения задач с помощью уравнений.

6. Десятичные дроби (14 ч). (Глава IV учебника [2].)

Положительные десятичные дроби. Сравнение и арифметические действия с положительными десятичными дробями. Десятичные дроби и проценты. Десятичные дроби любого знака. Приближение десятичных дробей, суммы, разности, произведения и частного двух чисел.

Основная цель — научиться действиям с десятичными дробями и приближенным вычислениям.

Материал, связанный с десятичными дробями, излагается с опорой на уже известные теоретические сведения — сначала для положительных, потом для десятичных дробей любого знака. Десятичные дроби рассматриваются как новая форма записи уже изученных рациональных чисел. Важно обратить внимание учащихся на схожесть правил действий над десятичными дробями и над натуральными числами.

Здесь же показываются новые приемы решения основных задач на проценты, сводящиеся к умножению и делению на десятичную дробь, а также способы решения сложных задач на проценты.

При изучении данной темы вводится понятие приближения десятичной дроби, разъясняются правила приближенных вычислений при сложении и вычитании, при умножении и делении. Появление приближенных вычислений в этом месте связано с тем, что при делении десятичных дробей не всегда получается конечная десятичная дробь, а также с тем, что на практике часто требуется меньше десятичных знаков, чем получается в результате вычислений. Учащиеся должны научиться в случае необходимости правильно округлять сами числа и результаты вычислений.

7. Обыкновенные и десятичные дроби (13 ч). (Глава V учебника [2].)

Периодические и непериодические десятичные дроби (действительные числа). Длина отрезка. Длина окружности. Площадь круга. Координатная ось. Декартова система координат на плоскости. Столбчатые диаграммы и графики.

Основная цель — познакомить учащихся с периодическими и непериодическими десятичными дробями (действительными числами), научить их приближенным вычислениям с ними.

При изучении заключительной темы курса арифметики 5-6 классов устанавливается связь между обыкновенными и десятичными дробями. Показывается, что несократимые дроби, знаменатель которых не содержит простых делителей, кроме 2 и 5, и только они, записываются в виде конечных десятичных дробей, остальные в виде бесконечных периодических десятичных дробей. Делается вывод, что любое рациональное число можно записать в виде периодической десятичной дроби. Затем приводятся примеры бесконечных непериодических десятичных дробей, которые и называют иррациональными числами. Рациональные и иррациональные числа — это действительные числа.

Введение бесконечных десятичных дробей (не обязательно периодических) позволяет ввести понятие длины произвольного отрезка. Здесь показывается, что длина отрезка как раз и есть бесконечная десятичная дробь, что каждой точке координатной оси соответствует действительное число.

В качестве примера иррационального числа рассмотрено число , и показано, как с его помощью вычисляют длину окружности и площадь круга. Вводится декартова система координат на плоскости, столбчатые диаграммы и графики.