IX) Выделение полного квадрата

Методы решения уравнений высших степеней.

I) Решение уравнений с помощью деления в столбик.

Очевидно  - корень уравнения

Очевидно  - корень уравнения

Ответ: -5;2;3;4

 

II) Возвратные уравнения и к ним сводящиеся.

Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е. , ,

 

Возвратные уравнения четной степени.

т.к.  - не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на .

Введем замену.

Пусть , , получим

               ;

Вернемся к замене.

             или           

                             

                            корней нет

Ответ:

 

Возвратные уравнения нечетной степени.

Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к у любого возвратного ур–ия нечетной степени один из корней всегда равен –1

Очевидно  - корень уравнения.

       или

                              т.к  - не является корнем уравнения, то разделим обе части

уравнения на

Введем замену.

Пусть , , , получим

       или                                 или           

                                                              

                                                 

корней нет                                                      

Ответ: , ,

 

III) Уравнения вида , где  решаются как возвратные.

 

IV) Замена переменных по явным признакам.

 

V) В следующих уравнениях используется “идея однородности”.

Пример №1

Введем замену.

Пусть , , тогда

1) если , тогда , тогда

 решений нет

2) Разделим обе части уравнения на , получим

Решим последнее уравнение, как квадратное относительно , получим

;

;

Вернемся к замене.

               или           

                                          корней нет

Ответ:

 

Пример №2.

                          

Пусть , , тогда

Найдем

Составим систему:

Решая систему подстановкой, получим

                             или                       

                                                     

                                                  

корней нет                                                          ;

Ответ: ;

 

Пример №3.

 - не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на , получим

Введем замену.

Пусть , тогда

;

                   или                       

                                                    

;                                                       ;

Ответ: ; ; ;

VI) Уравнения вида , где  эффективно решать перемножением  и , а затем делать замену.

 

VII) В уравнениях вида  и в уравнениях к ним сводящимся, в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.

             (1)                         

        (2)

При переходе  область определения уравнения сузилась на . Проверим, является ли  корнем уравнения. Не является.

Введем замену.

Пусть , , тогда

;

                   или                       

                                                  

                                                                  

Ответ: ;

 

VIII) В уравнениях вида  обе части уравнения делятся на

 - не является корнем уравнения. Разделим на , получим

Введем замену.

Пусть ; , тогда

;

                           или                       

                                                               

Ответ: ;

IX) Выделение полного квадрата.

                       

Введем замену.

Пусть , тогда

;

Вернемся к замене.

                          или                       

                                                  

                                                     корней нет

Ответ:

 

X) Решение уравнений с помощью формулы

                              или                       

                                                               корней нет

 

XI) Уравнения вида  и к ним сводящиеся решаются при помощи замены

Введем замену.

Пусть , тогда

                      или                         корней нет

;

Вернемся к замене.

           или       

                                        

Ответ: ;