Неинерциальные системы отсчёта

Пусть K – СО – неподвижна, движение относительно неё – абсолютное, движение K’ – СО относительно K – переносное,

Движение относительно K’ – СО – относительное. Изучим относительное движение.

Поступательное движение НИСО:

r=r₀+r' диф. по времени и найти v и a.

 

Вращательное движение НИСО: Выберем начала отсчёта K и K' в точке 0 на оси вращения. => r=r'. Если v'=0, то перемещение dr (.) обусловлено только поворотом K' на dj и равно [dj, r]. Если v'¹0, то dr=v'dt+[dj, r] /dt -> v=v'+[w,r] Если v'=const, то dv'=[ dj, v'], если v'¹const, то dv'=a'dt+[ dj, v'] a=a'+2[w,v']+[w[w,r]]; 2-ое слагаемое – кориолисово ускорение, а 3-е – осестремительное. K' вращается со скоростью w и движется поступательно со скоростью v₀ и ускорением a₀ v=v' + v₀ + [w,r] Для ускорения при w¹const: a=a' + a₀ + 2[w,v'] + [w[w^·,r]] + [w^·,r] a_абс=a_отн+a_пер+a_кор – теорема Кориолиса. Основное уравнение динамики в НИСО ma'=F-ma₀+2m[v',w]+mw²r-m[w^·,r] Силы инерции Перепишем осн. ур-е динамики НИСО в виде: , где                     - центробежная                                                                     сила инерции.                                                                            - переносная                                                    сила инерции                                                  - сила Кориолиса. Возникает                                                   при вращении СО. Силы инерции - не являются мерой взаимодействия тел, а обусловлены свойствами самой СО. - не инвариантны и сущ. только в НИСО. - явл. внешними - переносные силы инерции совершают работу, а кориолисова – не совершает, т.к. перпендикулярна скорости относит. движ-я.                                                                                                                     Движение тел на Земле Применим основное уравнение динамики в НИСО к движению тел на Земле:     - пусть Земля вращается равномерно - выберем начало отсчёта в центре Земли, тогда v₀ и a₀ – переносные скорость и ускорение относительно Солнца.     F_з - гравитационное притяжение Земли;  F₀ - равнодействующая гравитационного притяжения небесных тел – Солнца, Луны, звезд и других  планет;  F - равнодействующая других сил (сопротивления воздуха, трения, упругости и т.д.) Тогда уравнение динамики принимает вид:     Обобщённый закон Галилея: все тела в однородном поле тяготения падают с одинаковыми ускорениями. Основной вклад в силу F₀ вносят гравитационные поля Солнца и Луны. Пренебрегая изменением внешних грав. полей на расстоянии порядка земного диаметра, получаем F₀=ma₀ Подставляя в ур-е динамики, получаем ур-е движ-я вблизи поверхности Земли. Приравняв 1-е слагаемое к mg, получаем g – ускорение свободно падающего тела, если его скорость = 0; g=g_абс+w²r, g_абс- ускорение свободного падения в случае ИСО, а 2-е слагаемое – ускор-е, задаваемое центробежной силой инерции. Вес равен сумме силы гравитационного притяжения Земли и центробежной силы инерции. Основная идея ОТО содержится в ответе на вопрос – как гравитационное поле воздействует на свойства пространства и времени. Поведение часов в присутствии полей тяготения Пусть диск радиусом r вращается с угловой скоростью w Установим одинаковым образом проградуированные часы в центре, по радиусу и на краю диска. Для наблюдателя из ИСО часы замедляются по мере их удаления от центра. t=gt₀   Для наблюдателя из НИСО часы будут замедляться из-за действия центробежной силы инерции F=mw²r Поведение масштабов в присутствии полей тяготения Если остановить диск, то для обоих наблюдателей l₀/d=p Если диск вращается со скоростью w, то для наблюдателя из ИСО линейный эл-т Dl=Dl₀/g, но l/d=p, т. к. поперечные размеры постоянны. Тогда l₀/d>p. Для наблюдателя из НИСО этот эффект связан с наличием возрастающего от центра гравитационного поля. 1) Однородность времени означает, что если в два любые момента времени все тела замкнутой системы поставить в совершенно одинаковые условия, то, начиная с этих моментов, все явления в этой системе будут протекать совершенно одинаково. 2) Однородность пространства означает, что если замкнутую систему тел перенести из одного места пространства в другое, поставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились в прежнем положении, то это не отразится на ходе всех последующих явлений. 3) Изотропность пространства означает, что если замкнутую систему тел повернуть в пространстве на любой угол, поставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились в прежнем положении, то это не отразится на ходе всех последующих явлений. Однородность пространства и ЗСИ: Перенесём истему из положения 1 в положение 2 так, чтобы все точки одинаково сместились и сохранили прежние скорости. Т. к. в силу однородности пространства изменения в самой системе при этом отсутствуют, то работа всех внутренних сил равна нулю. Т. е. (F₁+F₂+…)dr=0 Þ сумма сил = 0 Þ выполняется ЗСИ. Изотропность пространства и ЗСМИ: В данном случае (M₁+M₂+…)da=0 Þ dL=0 Þ ЗСМИ выполняется. ЗСЭ и однородность времени A₁₂=K₂-K₁ Пусть на i-ую частицу действует сила F(F_x,F_y,F_z), компоненты которой равны частным производным от U. В общем случае полное приращение U зависит не только от координат, но и от времени. dU=(¶U/¶x)dx+(¶U/¶y)dy+(¶U/¶z)dz+(¶U/¶t)dt Для замкнутой системы работа на конечном перемещении из положения 1 в положение 2:   добавим и вычтем в правой части частную производную по времени Þ     Суммируя по всем материальным точкам системы, получаем из равенства работ: В силу однородности времени в замкнутой системе потенциальная энергия не зависит от времени, т. к. развитие событий происходит одинаковым образом Þ получаем ЗСЭ.   Твёрдое тело – система материальных точек, расстояния между которыми неизменны. Для описания движения вводят K – СО и K' – СО(которая связана с тв. телом). Говорят, что всякое твердое тело представляет собой механическую систему с шестью степенями свободы. Движение твёрдого тела можно представить как совокупность поступательного (dp/dt=F) и вращательного(dL/dt=M). Бесконечно малое перемещение любой точки рассматриваемого твердого тела и её мгновенная скорость могут быть определены как     Вращение твёрдого тела Вращение будем рассматривать в Ц – системе. Пусть тело вращается вдоль оси z' и эта ось неподвижна. Тогда для материальной точки массой m момент импульса   А для всего твёрдого тела момент импульса определяется   I – момент инерции     Для твёрдого тела I=òr²rdV=òr²dm Свойства момента инерции: - аддитивность - зависит от положения оси вращения Момент инерции диска где площадь поверхности элемента dm, лежащей в плоскости рисунка записана в полярных координатах. Тогда   Учитывая, что m=rpr²h, получаем I=(1/4)mR²       Момент инерции шара массой m и радиусом R относительно оси вращения. Задачу будем рассматривать в сферической системе координат. Тогда момент инерции элементарного кусочка     где rsinJ - расстояние кусочка массой dm до оси вращения . Интегрируя по всем переменным: Т.к. m=r(4/3)pR³, I=(2/5)mR² Теорема Штейнера I=I_C+ma² Пусть точка C - центр инерции тела. Проведем через произвольный элемент Dm_i плоскость, перпендикулярную осям z_c и z, проходящим через центр инерции тела C и точку 0. Векторы R_ic и R_i                                                                                            задают, соответственно, положение элемента Dm_i относительно осей z_c и z, а вектор a – взаимное расположение этих осей.       При этом R_i=a+R_ic Тогда момент инерции относительно оси z равен:     Последнее слагаемое равно I_c, 2-е =0, а 1-е = m   Математический маятник: При отклонении от положения равновесия возникает момент силы тяжести относительно точки подвеса: M=[r,mg] I(dw/dt)=M ó ml²j''=-mglsinj При малых колебаниях sinj»j тогда j''+(g/l)j=0 Для физического маятника w₀²=mgl/I, l₀=I/ml – приведённая длина. Точка, расстояние от которой до подвеса = l₀, называется центром качания – точка в которой нужно сосредоточить всю массу физ. маятника, чтобы он колебался как математический. По Th(Штейнера) I = I_c + ml² ó l₀=l + I_c/ml Точка подвеса и центр качания являются взаимными (Th Гюйгенса). Малые колебания: U=kx²/2, F=-ÑU=-kx – квазиупругая сила, т. к. она тождественна выражению для силы деформированной пружины. x''+w₀²x=0 – диф. ур-е идеальной колебательной системы. Затухающие колебания При наличии силы сопротивления -kx-rx'=mx'' ó x''+bx'+w₀²x=0 – диф. ур-е затухающих колебаний. x''+bx'+w₀²x=F₀coswt – диф. ур-е вынужденных колебаний. Общее решение однородного диф. ур-я 2 порядка: x=a₁x₁+a₂x₂   x_{общ.неоднор.}=x_{общ.однор.}+x_{частичн.неоднор.} Гармонические колебания Пусть x=e^lt Переходим к характеристич. ур-ю l²+w²=0 l_1,2=±iw. x=C₁e^iwt+C₂e^-iwt x=x^* ó C₁e^iwt+C₂e^-iwt= C₁^*e^-iwt+C₂^*e^iwt C₁=C₂^*, C₂=C₁^* представим С₁=(A/2)e^ia, C₂=(A/2)e^-ia x=(A/2)(e^iwt+a+e^-iwt+a)=Acos(wt+a); Характеристики гармонических колебаний – амплитуда, период, частота, круговая частота, скорость, ускорение. Полная механическая энергия системы, участвующей в колебательном процессе: Нелинейные колебания Если в разложении U(x) учесть хотя бы 1 член более высокого порядка, то ур-е колебаний принимает вид: x''+w₀²x=xw₀²x² Если xA<<1, то член, стоящий в правой части, рассматривают как малый и называют возмущением. Для нахождения приближённого решения ур-я применяют подход, называемый теория возмущений.   Уравнение затухающих колебаний По аналогии с незатухающими колебаниями находим корни характеристического ур-я l²+2bl+w₀²=0 и получаем x=A₀e^-btcos(wt+a). l=ln(A(t)/A(t+T))=bT – логарифмический декремент затухания (отношение амплитуд через период). Q=p/l=pN_e=p(t/T) – добротность, t - время, за которое амплитуда уменьшится в e раз.     Резонанс w_рез=w₀ – незатухающие колебания, w_рез=(w₀²-2b²)^1/2 - затухающие. Амплитуда колебаний при резонансе (из выражения амплитуды гармонических колебаний с частотой вынуждающей силы w):