Определение работы, скорости и расхода газа в процессе истечения

Изучение закономерностей движения газов и паров но каналам имеет чрезвычайно большое значение для рассмотрения рабочих процессов ряда машин, аппаратов и приборов.

В промышленности строительных материалов теория газового потока нашла широкое применение при проектировании установок для раздува силикатных расплавов в минеральное волокно, эжекторных установок для перекачки горючих газов, а также при решении вопросов, связанных с созданием инжекционных газовых горелок, форсунок для сжигания жидкого и твердого пылевидного топлива и других агрегатов, устройство которых основано на преобразовании энергии давления в кинетическую энергию движения рабочего тела.

Термодинамическая теория газового потока позволяет определить скорость истечения газа, его секундный расход и основные закономерности профилирования сопел и диффузоров.

Для исследований процесса истечения задача может быть сформулирована так.

Имеется сосуд 1 неограниченной вместимости, где находится рабочее тело — газ или пар с параметрами состояния p ₁, t ₁, v ₁ (рис. 8.1). Рабочее тело вытекает в среду с давлением р₂ < р ₁ за счет разности давлений

  р ₁ - р ₂ через отверстие в стенке сосуда. Удельный объём и температуру газа в среде с давлением р ₂ обозначим соответственно через р ₂, v ₂ и t ₂. Чтобы придать нужное направление струе рабочего тела, вытекающей из сосуда, к отверстию с наружной поверхности стенки сосуда приставляют насадки 2, называемые соплами, имеющие цилиндрическую или чаще форму суживающегося усеченного конуса (коноидальное сопло)*. Выходное сечение сопла называется устьем.

Обозначим площадь поперечного сечения устья сопла f и скорость струи газа или пара, выходящей из устья сопла, w ₂, скорость газа, втекающего в сосуд, — w ₁. Обычно эта скорость очень мала по сравнению с w ₂, и поэтому при практических расчетах ею можно пренебречь, т. е. считают w ₁= 0, и тогда w₂ обозначают просто w.

В соответствии с уравнением (2.6) имеем dq = du + dA ' + (dw ²/2). С другой стороны, по уравнению (2.4) dq = du + dA (где dA = pdv —элементарная работа расширения, совершаемая газом). Тогда (т.к. dq= dq)

dA = dA ' + (dw ²/2)

Или dA ₀ = (dw ²/2) = dA – dA '                                                     (8.1)

и

(8.2)

* Такое сопло иначе называется конфузором. Канал, в котором происходит обратный процесс, т. е. увеличивается давление газа и уменьшается скорость его течения, называется диффузором.

Величина А₀ называется работой, которой мы располагаем в процессе истечения, и численно равна алгебраической сумме внешней работы газа и работы проталкивания, или приращению кинетической энергии при истечении газа. Эта работа может быть использована в машинах непосредственно или превращена в другие виды энергии. Например, в паровых турбинах пар, пропускаемый через криволинейные каналы рабочего колеса со значительной скоростью, полученной в результате расширения, снижает скорость и вследствие уменьшения внешней кинетической энергии создает вращающий момент на валу турбины, т. е. совершает работу.

Так как по уравнению (2.8')

q = i ₂ – i ₁ + (w ₂² — w ₁²)/ 2 = i ₂ – i ₁ + А ₀   (2.8')

то

А ₀ = (w ₂² — w ₁²)/2 = q + i ₁ – i ₂

Теоретически процесс истечения является изоэнтропным, т. е. совершается без теплообмена газа с внешней средой (q = 0). Тогда последнее равенство примет вид

(w ₂² — w ₁²)/2 = А ₀ = i ₁ – i ₂.                       (8.3)

Из формулы (8.3) следует, что при адиабатном процессе истечения газа А ₀ определяется уменьшением его энтальпии. Подставляя в уравнение (8.2) значение работы для адиабатного процесса расширения идеального газа, по уравнению (3.15) получим:

(A =  (p ₁ v ₁ – p ₂ v ₂) – (3.15) — работа в адиабатном процессе.)

А ₀ =  (p ₁ v ₁ – p ₂ v ₂) + p ₁ v ₁ – p ₂ v ₂ = (p ₁ v ₁ – p ₂ v ₂)(  + 1) =

=  (p ₁ v ₁ – p ₂ v ₂)           

           

или

А ₀ =  p ₁ v ₁ [1– (р ₂/ р ₁)^{( k-1/k )}]              (8.4)

Таким образом, при адиабатном процессе истечения идеального газа

 А₀  в k раз больше работы расширения газа. Уравнение (8.1 dA ₀ = (dw ²/2) = dA – dA ') можно переписать так (см. §2.3):

dA ₀ = dA — dA ' = pdv – d (pv) = – vdp.

тогда

 

A ₀ = – ò ^р2_р1 vdp                                                       (8.5)

и

dA ₀ = dw ² /2 = wdw = — vdp.                               (8.6)

Для бесконечно малого перепада давления dp элементарную работу dA₀ подсчитывают как площадь прямоугольника с основанием v и высотой dp (рис. 8.2).

 

 

 

Равенство (8.6) отражает основные особенности течения газов. Оно показывает, что при движении газа знаки dw и dp всегда противоположны. Иначе говоря, если газ (или пар) при движении по каналу расширяется (давление при dq = 0 падает), его скорость и кинетическая энергия будут увеличиваться, и наоборот, если при движении газа по каналу давление будет возрастать (газ при dq = 0 сжимается), то его скорость и кинетическая энергия будут уменьшаться.

Для адиабатного течения газа работа А₀ в соответствии с формулой
(8.3) может быть определена через энтальпию, т. е. А ₀ = i ₁ — i ₂ и графически А₀ в is-диаграмме (рис. 8.3) будет изображаться отрезком h ₀, который соответствует перепаду энтальпий i ₁ – i ₂.

При w ₁ = 0 скорость истечения w ₂ = w может быть определена из уравнения (8.3):

(w ₂² — w ₁²)/2 = А ₀ = i ₁ – i ₂.                       (8.3)

 

w =                                                    (8.7)

где i выражено в Дж/кг, w — в м/с.

В частном случае, если i измерено в кДж/кг, формула (8.7) принимает вид

w = 44,72                                            (8.7')

а если, как это часто бывает, i измерено в ккал/кг, то

w = 91,53                                               (8.7'')

Полученную формулу особенно удобно использовать для определения скорости истечения водяного пара с помощью is -диаграммы.

Для идеального газа по уравнению (8.4 А ₀ =  p ₁ v ₁ [1– (р ₂/ р ₁)^{( k-1/k )}])  скорость истечения w может быть выражена также через начальные параметры газа р ₁ и v ₁ и давление среды р ₂  куда происходит истечение:

A ₀ =  =  p ₁ v ₁ ,   

откуда

w (8.8)

где, р [Н/м²], v [м³/кг], w [м/с].

Если принять p ₁ v ₁ = RT ₁, то

 

 

  w (8.8')

откуда следует, что скорость истечения w растет с увеличением начальной температуры газа T ₁ и при прочих равных условиях будет иметь большую величину для более легких газов с большим значение газовой постоянной R. По формуле (8.8) можно определять и скорость истечения водяного пара, если считать, что k = 1,3 — для перегретого пара и k = 1,135 — для сухого насыщенного пара.

Количество рабочего тела (пара или газа), вытекающего из сопла в 1 с (см. рис. 8.1), определяют из соотношения

M = V ₂/ v ₂,

где V ₂ — секундный объем вытекающего газа; v ₂ — удельный объем газа при давлении р ₂.

Поскольку

V ₂ = fw,

то

                 М = fw / v ₂.                                                            (8.9)

Подставляя в полученное равенство значение скорости по уравнению (8.8) и значение v ₂ из уравнения адиабаты, равное v ₂ = v ₁

 получим:

M = f

Или

 

M = f         (8.10)

 

Для определения секундного расхода пара следует пользоваться непосредственно формулой (8.9), находя w по формуле (8.7), a v₂ – по is-диаграмме (см. рис. 8.3).

Из формул (8.8) и (8.10) следует, что w и M зависят от отношения р ₂/ р ₁. Очевидно, при р ₂/ р ₁ = 1 w = 0 и M = 0, т. е. при равенстве давлений р ₁ и р ₂ истечения не будет. При уменьшении давления р ₂, а следовательно, и отношения р ₂/ р ₁ при постоянном давлении р ₁ скорость w и расход газа М увеличиваются. Если предположить, что р ₂ = 0, т. е. что истечение происходит в среду, где полный вакуум, то следовало бы ожидать, что расход должен быть максимальным. Однако по формуле (8.10) расход получается равным нулю. Этот результат представляется неправдоподобным. Для объяснения его проанализируем формулу (8.10). С этой целью построим графики зависимости M = j (р₂ /p₁) и w = j(р ₂/ р ₁) причем для краткости написания отношение р ₂/ р ₁ будем обозначать буквой β. По оси абсцисс отложим β от 0 до 1 (рис. 8.4), а по оси ординат — соответствующее значение М.

Лекция №4.