Анализ электрических цепей методом контурных токов

Метод контурных токов оказывается полезным, когда схема электрической цепи содержит несколько источников электрической энергии. Он позволяет выполнить анализ такой цепи решением системы из К канонических уравнений, где К равно числу независимых контуров.Если ввести понятия контурных токов, контурных сопротивлений и Э.Д.С., а также взаимных сопротивлений, то формально записанное каноническое уравнение соответствует уравнению, составленному по второму закону Кирхгофа.

Рассмотрим метод на примере схемы, приведенной на рис. 2.7, а. Схема имеет два независимых контура. Для ее анализа методом контурных токов необходимо составить систему из двух канонических уравнений: ,(2.10) где: I₁₁, I₂₂ – контурные токи, Е₁₁, Е₂₂ – контурные Э.Д.С., R11, R22 – контурные сопротивления, R₁₂, R₂₁ – взаимные сопротивления контуров.

Под контурными токами понимают условные (расчетные) токи, замыкающиеся в соответствующих контурах. На рис 2.7, а направление контурных токов показано стрелками в контурах. Пусть направление этих токов будет одинаковым – по часовой стрелке.Сопоставляя контурные токи с токами ветвей, можно показать, что

значение контурных токов совпадает со значением действительных токов

только во внешних ветвях: I₁₁ = I₁, I₂₂ = I₄.

Токи смежных ветвей равны разности контурных токов соседних контуров: I₅ = I₁₁ – I₂₂. Таким образом, по известным контурным токам легко найти действительные токи всех ветвей. Следовательно, решение системы уравнений (2.10) относительно контурных токов отвечает целям анализа электрической цепи.

Для решения системы уравнений (2.10) определим понятия контурных сопротивлений – R₁₁, R₂₂, контурных Э.Д.С. – Е₁₁, Е₂₂ и взаимных сопротивлений – R₁₂, R₂₁: R₁₁ = R₁ + R₂ + R₅,R₂₂ = R₃ + R₄ +R₅;

Е₁₁ = Е₁ + Е₅, Е₂₂ = Е₄ −Е₅.

Теперь уравнения системы (2.10) полностью соответствуют параметрам схемы рис. 2.7, а. Значение взаимных сопротивлений контуров в (2.11) определено с обратным знаком. Это обусловлено необходимостью привести канонические уравнения (2.10) в соответствие с уравнениями, составленными по второму закону Кирхгофа. Взаимное сопротивление контуров, не имеющих общих ветвей, равно нулю. Решая эту систему уравнений, можно найти контурные токи, а по ним искомые токи ветвей: I₁, I₂, I₃, I₄, I₅.

Если бы схема содержала три контура, как на рис. 2.7, б, то система канонических уравнений имела бы вид:

Таким образом, метод контурных токов более экономен по вычислительной работе. Он позволяет формализовать процесс анализа и упрощает применение ЭВМ к анализу сложных электрических цепей.