Представление синусоидального тока (напряжения) радиус-вектором

Синусоидальный ток (напряжение) изображается в виде радиус-вектора, вращающегося против часовой стрелки с частотой w. Длина вектора равна амплитудному значению - I_m. Один оборот вектор совершает за время одного периода (рис.3.2).Положение радиус-вектора относительно оси Х в момент начала отсчета t=0 определяется углом j. Проекция вектора на ось Y определяется выражением (3.1).На одной векторной диаграмме могут быть изображены векторы нескольких колебаний, например, i₁(t) и i₂(t) (рис. 3.3). Для упрощения анализа все векторы изображаются в момент времени t=0. Тогда сумма двух векторов определится по правилу параллелограмма.Результирующий радиус-вектор также вращается относительно начала координат с частотой w, а его проекция на ось Y определяется выражением i(t) = I_m × sin (w t + j), где j - положение суммарного вектора относительно оси Х в момент времени t=0. Существенный недостаток – низкая точность.Поэтому его применяют чаще всего для качественного анализа электрических цепей с помощью топографических векторных диаграмм напряжений.Для построения топографической векторной диаграммы в анализируемой электрической цепи выделяют несколько участков по направлению обхода. Падение напряжения на каждом участке может быть определено вектором. Устанавливая каждый последующий (по направлению обхода) вектор в точку конца предыдущего вектора получим топографическую векторную диаграмму напряжений. Вектор между любыми двумя точками этой диаграммы характеризует напряжение между соответствующими точками электрической цепи.

   КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Комплексное представление синусоидальных токов и напряжений позволяет совместить простоту и наглядность векторного представления с точностью представления действительными функциями времени. Для перехода от графического представления к комплексному заменим оси декартовой системы координат (рис.3.2) следующим образом:– ось Х на ось действительных чисел R_e;– ось Y на ось мнимых чисел J_m (рис.3.4).При этом длина вектора тока (напряжения) определяется амплитудным значением, как комплексная величина, т.е. . Угол наклона вектора к оси реальных чисел R_e в момент времени t=0 остается прежним, т.е. j. Обозначим проекцию вектора  на ось  реальных чисел i' = I_m×cosj, а проекцию  на ось мнимых чисел = I_m× sin j. Тогда очевидно, что (3.5)где j – мнимая единица, причем – Выражение (3.5) определяет комплексную алгебраическую форму представления синусоидального тока. Она удобна для выполнения действий сложения и вычитания токов (напряжений). Действительно, для сложения двух комплексных чисел достаточно отдельно сложить их действительные и мнимые части.

Подставим в (3.5) вместо  и  их значения. Тогда получим: , (3.6)где  – модуль комплексного представления тока, численно равный амплитудному значению.Выражение (3.6) определяет комплексную тригонометрическую форму представления синусоидального тока. Вектор тока , величины i ′ и i ″ на рис. 3.4 образуют ПРОДОЛЖЕНИЕ 12 прямоугольный треугольник. Поэтому, применяя известные выражения для сторон треугольника, можем записать: , а  .(3.7)Видим, что выражения (3.7) характеризуют параметры синусоидального тока, не зависящие от времени - действительную амплитуду  и начальную фазу j. Они позволяют легко перейти от комплексной формы представления к представлению действительными функциями времени.Введем в (3.5) зависимость от времени. Тогда , (3.8) где Теперь очевидно, что реальная часть (3.8) характеризует реально существующее колебание, описываемое действительной косинусной функцией, а мнимая часть – это же колебание в синусной форме.С помощью формулы Эйлера от (3.6) переходят к показательной форме комплексного представления тока: .(3.9)С учетом зависимости от времени выражение (3.9) принимает вид: _.(3.10)Показательная комплексная форма удобна для выполнения действий умножения, деления, возведения в степень или извлечения корня. Действительно, для умножения двух комплексных чисел в показательной форме (3.9) достаточно перемножить их модули, а аргументы (показатели степени) сложить.Представим токи и напряжения на пассивных элементах, обладающих резистивным сопротивлением, емкостью и индуктивностью в комплексной форме. Пусть имеем: ; Для элемента с резистивным сопротивлением справедливо равенство: .Освободим это выражение от временной зависимости: (3.11)Но равенство (3.11) возможно только в том случае, когда . Таким образом, мы пришли к важному выводу о том, что на элементе с резистивным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе. Максимумы тока и напряжения имеют место в один и тот же момент времени. Векторы тока и напряжения будут совпадать. Для элемента, обладающего емкостью, известно выражение: Применяя к нему комплексную форму представления тока и напряжения, получим: .Учитывая, что  приходим к выражению: , или: (3.12)Таким образом видим, что напряжение на емкости отстает от тока на 90^о. Для элемента, обладающего индуктивностью, воспользуемся выражением (1.11). Тогда

 или . (3.13)

Видим, что напряжение на индуктивности опережает ток на 90^о.Выражения (3.11), (3.12) и (3.13) не имеют временных зависимостей. Это упрощает расчеты электрических цепей, сводя их к алгебраическим операциям с комплексными числами.