2020-08-05
159
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ»
Кафедра физики
ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ
С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Методические указания к лабораторной работе № 2
по разделу "Механика и молекулярная физика" курса общей физики
для студентов всех специальностей дневной и заочной формы обучения
Могилев 2010
Рассмотрены и рекомендованы к изданию
на заседании кафедры физики
Протокол № 9 от 28 июня 2010 г.
Составители:
ст. преподаватель Забиран Т.В.,
ассистент Пусовская Т.И.
Рецензент:
кандидат физико - математических наук, доцент УО МГУП
В.Л.Малышев.
УДК 532.516
©УО «Могилевский государственный
университет продовольствия», 2010
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ
С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
|
|
|
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение колебательного движения, видов маятников, особенностей свободного падения, измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника.
ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: математический маятник, секундомер.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Гармонические колебания
Колебаниями называются движения или процессы, которые обладают повторяемостью во времени. Колебания сопровождаются попеременными превращениями энергии одного вида в энергию другого вида. Колебательные движения, как простые, так и сложные, широко распространены в технике: движение поршня двигателей, годичное изменение температуры воздуха, биение сердца человека и животных и др. Колебания называются периодическими, если система за равные промежутки времени возвращается в положение равновесия.
Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии, без дальнейшего внешнего воздействия на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Колебания называются вынужденными, если они происходят под действием периодически повторяющейся внешней силы.
Гармоническими колебаниями называются колебания, происходящие под действием упругой или квазиупругой силы, и колеблющаяся физическая величина изменяется по закону синуса или косинуса.
Квазиупругой (подобной упругой) силой называется любая сила, возвращающая систему в положение равновесия и пропорциональная смещению.
Уравнение гармонических колебаний имеет вид:
, (1)
|
|
|
или
, (2)
где 
– смещение колеблющейся точки,
– амплитуда (наибольшее смещение материальной точки от положения равновесия),
– фаза гармонического колебания,
– начальная фаза (угловая мера, определяющая смещение материальной точки в начальный момент времени),
– циклическая (круговая) частота гармонического колебания.
Периодом колебаний 
называют наименьший промежуток времени, за который совершается одно полное колебание (система возвращается в исходное положение).
Частотой колебаний 
называется величина обратная периоду колебаний 
, т.е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени.
Маятники
Маятники под действием силы тяжести также совершают гармонические колебания, если углы отклонения от положения равновесия малы. Маятники бывают: математический, физический и пружинный.
Пружинный маятник – это тело массой т, подвешенное на абсолютно упругой пружине и совершающий колебания под действием упругой силы.
, (3)
где k – жесткость пружины (коэффициент упругости).
| 0 х |
|
|
Рисунок 1 – Пружинный маятник
Уравнение движения маятника:
или 
. (4)
Сравнивая это уравнение с уравнением движения гармонического осциллятора 
, мы видим, что пружинный маятник совершает колебания по закону
,
с циклической частотой
, (5)
и периодом
. (6)
Физическим маятником называют твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения, проходящую через точку, не совпадающую с его центром масс, и совершающее колебания под действием силы тяжести. Период малых колебаний (угол отклонения от положения равновесия равен 3-5о) физического маятника не зависит от амплитуды и определяется по формуле
, (7)
где 
– момент инерции маятника относительно оси вращения,
– его масса,
– расстояние от оси вращения до центра инерции,
– ускорение свободного падения
Величину
(8)
называют приведенной длиной физического маятника. Таким образом, период колебаний физического маятника можно записать в виде
. (9)
Частным случаем физического маятника является математический маятник. Математическим маятником называется идеализированная система, представляющая собой материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити и совершающую колебания под действием силы тяжести. Выведем формулу периода колебаний математического маятника.
| О |
|
|
| α |
|
| x mg |
| С |
Рисунок 2 – Математический маятник
Отклоним маятник из положения равновесия на некоторый угол α и определим действующую при этом на маятник силу. Сила, действующая на маятник, равна mg, где m – масса маятника и g – ускорение силы тяжести (ускорение свободного падения). Эту силу мы разложим на две составляющие (рис.2): одну вдоль нити и другую перпендикулярно нити. Первая составляющая компенсируется натяжением нити, а вторая вызывает движение маятника. Эта составляющая равна очевидно,
. (10)
В случае малых колебаний угол α мал. При этом sin α приближенно равен самому углу α, так что
. (11)
Замечая, что lα (где l –длина маятника) представляет собой путь x, пройденный материальной точкой, запишем F в виде
. (12)
|
|
|
Отсюда видно, что коэффициент жесткости в случае малых колебаний маятника k=mg/l. Частота гармонических колебаний ,поэтому частота колебаний математического маятника будет
. (13)
Период колебаний маятника равен
, (14)
где 
– длина маятника,
– ускорение свободного падения.
Свободное падение
Под действием силы тяжести всякое тело падает на Землю с ускорением 
– ускорением свободного падения.
Движение называют свободным, когда его траектория и скорость ничем не ограничиваются. Свободным падением будет движение тела в безвоздушном пространстве (вакууме) под действием силы тяжести.
Ускорение g определяется только полем земного тяготения в данной точке, поэтому оно не зависит от формы, размеров, массы тела, его скорости.
Поскольку на разных географических широтах сила тяжести одного и того же тела разная, то ускорение свободного падения g меняется в зависимости от широты места. На полюсах, где линейная скорость вращения точек Земли равна нулю, сила тяжести mg максимальна и равна силе притяжения F
, (15)
где Мз, Rз – масса и радиус Земли соответственно,
– гравитационная постоянная (
).
На полюсе ускорение свободного падения g=9,832 м/ с2. На экваторе сила тяжести принимает минимальное значение и ускорение свободного падения g=9,781 м/ с2. Так как Земля имеет не сферическую форму, а «сплюснута» у полюсов, то это также приводит к различию значений g на экваторе и полюсах.Значение g для разных широт определено экспериментально. Ускорение свободного падения на широте φ=45о называется нормальным и равно 9,807м/с2. Так как различие значений g невелико, при решении практических задач ускорение свободного падения принимается равным 9,81 м/с2.
Все перечисленные значения ускорения свободного падения относятся к определению этой величины на уровне моря. Из равенства инертной массы тела, которая входит во второй закон Ньютона, и его гравитационной массы в законе Всемирного тяготения следует, что с увеличением высоты подъема над уровнем моря ускорение свободного падения изменяется по закону
|
|
|
, (16)
где g− ускорение свободного падения на высоте h над уровнем моря, go − на уровне моря.
Для примера приведены значения ускорения свободного падения для некоторых городов (географические координаты по Гринвичу).
Таблица 1 – Значения ускорения свободного падения для различных географических точек
| Город | Долгота | Широта | Высота над уровнем моря, м | Ускорение свободного падения, м/с2 |
| Берлин | 13,40 в.д. | 52,50 с.ш. | 40 | 9,81280 |
| Будапешт | 19,06 в.д. | 47,48 с.ш. | 108 | 9,80852 |
| Вашингтон | 77,01 з.д. | 38,89 с.ш. | 14 | 9,80112 |
| Вена | 16,36 в.д. | 48,21 с.ш. | 183 | 9,80860 |
| Гринвич | 0,0 в.д. | 51,48 с.ш. | 48 | 9,81188 |
| Каир | 31,28 в.д. | 30,07 с.ш. | 30 | 9,79317 |
| Киев | 30,30 в.д. | 50,27 с.ш. | 179 | 9,81054 |
| Мадрид | 3,69 в.д. | 40,41 с.ш. | 655 | 9,79981 |
| Москва | 37,61в.д. | 55,75 с.ш. | 151 | 9,8154 |
| Нью-Йорк | 73,96 з.д. | 40,81 с.ш. | 38 | 9,80247 |
| Одесса | 30,73 в.д. | 46,47 с.ш. | 54 | 9,80735 |
| Осло | 10,72 в.д. | 59,91 с.ш. | 28 | 9,81927 |
| Париж | 2,34 в.д. | 48,84 с.ш. | 61 | 9,80943 |
| Прага | 14,39 в.д. | 50,09 с.ш. | 297 | 9,81014 |
| Рим | 12,99 в.д. | 41,54 с.ш. | 37 | 9,80312 |
| Стокгольм | 18,06 в.д. | 59,34 с.ш. | 45 | 9,81843 |
| Токио | 139,80 в.д. | 35,71 с.ш. | 18 | 9,79801 |
Можно сделать окончательный вывод: ускорение свободного падения зависит от широты местности, высоты над уровнем моря и от плотности залегающих пород.
