Развертка поверхности

Разверткой называется плоская фигура, полученная совмещением поверхности тела с плоскостью.

Для построения многогранной поверхности необходимо совместить с плоскостью все ее грани. Для построения развертки кривой поверхности в общем случае надо в нее вписать многогранную поверхность и совместить с плоскостью. Поверхности, которые разворачиваются на плоскость без разрывов и складок, называются развертываемыми. К ним относятся линейчатые поверхности, у которых образующие параллельны или пересекаются (цилиндры, торсы, конусы). Остальные поверхности неразвертываемые. Развертки простых фигур можно строить и математически. Для цилиндра - это прямоугольник с длиной S = 2pR; для конуса - сектор с углом при вершине j= 2 pR / l (l - длина образующей). Однако чаще это сложные поверхности с вырезами и срезами на них, развертки которых возможно выполнить, только используя графические приемы [2]. Основной метод графического построения разверток - это аппроксимация заданной поверхности в виде многогранной поверхности (рис. 44).

Рис. 44. Аппроксимация поверхности конуса

в виде многогранной поверхности

Часто вписывают многогранник с гранями в виде треугольников. Данный способ называется способом триангуляции. Самой трудоемкой частью при построении разверток является определение натуральной величины граней вписываемого в поверхность многогранника. Имеется ряд способов и приемов, сокращающих эту работу и облегчающих построение разверток. К ним относятся способ треугольников, способ нормального сечения и способ раскатки, которые, в свою очередь, используют методы определения натуральной величины граней методами замены плоскостей проекций (ортогонального проецирования по нормали к плоскости грани) или вращения вокруг проецирующих осей.

Развертка конусов производится по принципу развертывания пирамиды, для чего поверхность конуса предварительно аппроксимируют n - гранной пирамидой.

Рис. 45. Развертка конуса

Для построения ее используют то, что очерковая образующая конуса  L на фронтальной плоскости изобразилась в натуральную величину (рис. 45). Выбрав положение вершины развертки – точку S, радиусом L проводят дугу и откладывают на ней 12 равных частей, на которые предварительно разделили окружность основания конуса, изображенного на горизонтальной плоскости проекции в натуральную величину. Чем на большее количество равных участков разделим окружность, тем точнее построят развертку. Положение точки М на развертке поверхности конуса определяют следующим образом: через фронтальную проекцию точки проводят образующую и строят ее горизонтальную проекцию. Находят, что образующая пересекла основание конуса между точками 5 и 6. Точку К переносят на дугу развертки, расположив ее между точками 5 и 6, и соединяют с вершиной конуса развертки S. Из проекции точки M₂ проводят горизонтальную линию до пересечения с очерковой образующей L и получают точку ₂. Расстояние от основания конуса до точки  ₂ по образующей является высотой точки, которую откладывают на развертке от точки К на линии KS. Полученная точка определит истинное положение точки M на развертке. Таким образом, развертку конической поверхности строят с помощью соседних точек окружности основания, в которую вписан правильный двенадцатиугольник, т. е. коническая поверхность условно заменена поверхностью, вписанной правильной двенадцатиугольной пирамидой, а для построения развертки применен способ триангуляции.

Рис. 46. Завершенный чертеж пересечения поверхностей

и развертки конуса с нанесением линии пересечения

Опираясь на вышеизложенное, на чертеже пересечения поверхностей выполним построение развертки первой поверхности (прямого кругового конуса) и перенесем точки, принадлежащие линии пересечения, на развертку. Соединим плавной линией построенные точки. Пример выполненного задания приведен на рис. 46.