Вимушенi коливання матерiальної точки без опору середовища. Резонанс

Якщо опору немає, то n = 0 i рiвняння коливань буде таким:

m  = - +H sin(pt+δ);

+  = sin(pt+δ),                      (5.30)

де  = c/m; h = H/m.

Розв’язок цього рiвняння:

      (5.31)

Висновок: при вiдсутностi опору пiд дiєю перiодичної вимушуючої сили Q = H sin(pt+δ) матерiальна точка здiйснює рух, що є сумою двох гармонiчних коливань: першого - з власною частотою ω ₀ вiльних коливань, другого - з частотою р вимушуючої сили.

Розв’язок (5.31) втрачає змiст у випадку так званого резонансу, коли р = ω ₀, тобто коли частота вимушуючої сили дорiвнює частотi вiльних незатухаючих коливань.

Частинний розв’язок рiвняння (5.30) при р = ω ₀ можна знайти у виглядi:

x ₂ = Bt cos(ω ₀ t+δ), В = - h/ (2 ).            (5.32)

Загальний розв’язок рiвняння (5.31) в цьому випадку буде таким:

або

(5.33)

Висновок: рух матерiальної точки при резонансi є результатом накладання вiльних i вимушених коливань, як i в тому випадку, коли ω ₀ не дорiвнює р. Частота i перiод вимушених коливань при резонансi дорiвнюють частотi ω ₀ i перiоду Т = 2 π/ω ₀ вiльних коливань матерiальної точки. Фаза вимушених коливань (ω ₀ t + δ - π/ 2) вiдстає вiд фази вимушуючої сили (ω ₀ t+δ) на величину π/ 2. Амплiтуда вимушених коливань зростає пропорцiонально часу.

Зауваження. Для закріплення матеріалу §5 (пунктів 5.3 і 5.4) необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М., Наука, 1981 (1986)”:

1) № 32.81, 32.82, 32.83, 32.84, 32.86, 32.94, 32.98, 32.104, 32.105;

2) № 32.87, 32.88, 32.89, 32.90, 32.91, 32.96, 32.97, 32.99, 32.100, 32.103;

3) № 32.93, 32.101, 32.102, 32.107.

Рекомендується розв’язати також задачі № 686, 689, 690, 692, 693, 697, 700 зі збірника “Сборник задач по теоретической механике /Под ред. М. А. Бражниченко. – М., Высшая школа, 1986”.

Нелiнiйнi коливання матерiальної точки