В багатьох механiчних системах рух описується нелiнiйними диференцiальними рiвняннями. Поява в рiвняннях нелiнiйних членiв зумовлена наявнiстю сили пружностi або сили опору, що змiнюються за нелiнiйним законом.
Нелiнiйнi диференцiальнi рiвняння розв’язують наближено. В цьому випадку кажуть, що проводять лiнеаризацiю нелiнiйних диференцiальних рiвнянь. Замiна точних нелiнiйних диференцiальних рiвнянь наближеними диференцiальними рiвняннями впливає не тiльки на кiлькiснi результати, але й спотворює якiсну сторону розглядуваних явищ. Наприклад, у випадку лiнiйних коливань частота коливань не залежить вiд початкових умов. У випадку ж нелiнiйних коливань частота залежить вiд початкових умов.
До цього часу відсутні загальнi методи iнтегрування нелiнiйних диференцiальних рiвнянь. Але за останнi роки були розробленi наближенi i графiчнi методи.
В першому наближеннi вважають, що модуль сили пружностi змiнюється за законом Гука, тобто за лiнiйним законом в залежностi вiд змiщення Δ x (штрихована пряма на рис. 6.1).
|
|
Це приводить задачу до лiнiйного диференцiального рiвняння вiльних коливань:
+k 2 x = 0.
Разом з тим бiльш точно закон Гука записується так:
Fx =- c 1 x- c 3 x 3 -c 5 x 5, (6.1)
тобто, тут сила зростає швидше, нiж за лiнiйним законом; ця характеристика сили називається ”жорсткою”. Така характеристика спостерiгається у гуми (крива 1-1 рис. 6.1).
Iнакше закон Гука записується так:
Fx =- c 1 x + c 3 x 3 + c 5 x 5, (6.2)
тобто, тут сила зростає повiльнiше, нiж за лiнiйним законом; ця характеристика називається ”м’якою”. Вона спостерiгається, наприклад, в чавунi (крива 2-2 рис. 6. 1).
У випадку ”жорсткої” характеристики пружної сили
+ k 2 x+gx 3 +px 5 +... = 0,
(g = с 1 /m> 0), (6.3)
|
+k 2 x- gx 3 - px 5 -... = 0,
(g = с 1 /m> 0), (6.4)
тобто в загальному випадку
+f (x) = 0, (6.5)
де f (х) - деяка нелiнiйна функцiя х.
Прикладом нелiнiйних коливань є також маятник, диференцiальне рiвняння коливань якого має вигляд
+k 2sin φ = 0.
Розглядаємо
sin φ = φ- (φ 3 / 1·2·3) + (φ 5 / 5!) +…;
+k 2 φ- (k 2 / 6) φ 3 + (k 2 / 120) φ 5= 0.
В деяких випадках характеристика сили пружностi є лiнiйною на окремих дiлянках. Прикладом може бути тягар А мiж двома пружинами, який не прикрiплений до їх кiнцiв. В цьому випадку характеристика сили пружностi складається з двох прямолiнiйних вiдрiзкiв (рис. 6.2).
Розглянемо приклади нелiнiйних коливань систем з одним ступенем вiльностi.
Рис. 6. 2.