2020-08-05
133
Рух матерiальної точки по вiдношенню до iнерцiальної системи вiдлiку, тобто такої системи, для якої справедливi основнi закони динамiки Ньютона, називається абсолютним.
Розглянемо рух матеріальної точки маси m по відношенню до неінерціальної системи відліку Оxyz, тобто до системи, яка рухається з прискоренням відносно інерціальної системи відліку О 1 x 1 y 1 z 1 (рис. 8.1).
Рух точки М вiдносно неiнерцiальної системи вiдлiку називається вiдносним.
Основна задача динамiки вiдносного руху матерiальної точки формулюється так. Нехай система вiдлiку Oxyz рухається вiдносно нерухомої системи O 1 x 1 y 1 z 1 за вiдомим законом, тобто для будь-якого моменту часу нам вiдомi прискорення апер = а o точки O, а також переносна кутова швидкiсть ωпер i переносне кутове прискорення εпер системи вiдлiку Oxyz вiдносно системи вiдлiку O 1 x 1 y 1 z 1. Знаючи сили, якi дiють на точку М, а також початковi умови руху точки М i системи вiдлiку Oxyz, потрiбно знайти закон вiдносного руху точки М.
|
Для розв’язання цiєї задачi треба спочатку скласти диференцiальне рiвняння вiдносного руху точки М, а потiм, проiнтегрувавши це рiвняння, знайти закон вiдносного руху точки.
За другим законом Ньютона для руху точки вiдносно iнерцiальної системи вiдлiку
m 
= 
+ 
, (8.1)
де - абсолютне прискорення точки М, 
- рiвнодiйна активних сил, дiючих на точку М, 
- реакцiя в’язi.
Абсолютне прискорення точки за теоремою Корiолiса:
, (8.2)
де aвід, aпер, aкор - вiдносне, переносне i корiолiсове (поворотне) прискорення точки М вiдповiдно.
Пiдставимо в рiвняння (8.1) значення прискорення 
з (8.2) i одержимо
m 
= + 
+ (- m 
) + (- m 
). (8.3)
Сила, рiвна добутку маси рухомої точки та її переносного прискорення i направлена протилежнo цьому прискоренню, називається переносною силою iнерцiї 
:
= - m . (8.4)
Сила, рiвна добутку маси рухомої матерiальної точки та її корiолiсового прискорення i направлена протилежно цьому прискоренню, називається корiолiсовою або поворотною силою iнерцiї 
:
= - m . (8.5)
Рiвняння (8.3) можна переписати так:
m = 
+ + + 
. (8.6)
Це рiвняння є основним законом динамiки в векторнiй формi для вiдносного руху невiльної матерiальної точки. В загальному випадку
= 
+ 
´(
´ 
) + 
´ ; (8.7)
= 2( ´ 
), (8.8)
де 
- радiус-вектор, що визначає положення матерiальної точки М вiдносно початку O рухомої системи Oxyz.
Порiвнюючи рiвняння (8.6) i (8.1), приходимо до такого висновку: основне рiвняння динамiки вiдносного руху матерiальної точки можна скласти так, як i основне рiвняння динамiки абсолютного руху точки (8.1), якщо тiльки до дiючих на точку сил i 
додати переносну i корiолiсову сили iнерцiї 
і 
.
В проекцiях на осi системи вiдлiку Oxyz маємо
= 
, 
= 
, 
= 
;
(8.9)
.
Аналогiчно можна одержати рiвняння вiдносного руху точки в проекцiях на осi натурального тригранника.
Розглянемо вiдносний спокiй тiла поблизу Землi. На пiдвiшений до нитки тягар дiють двi сили: сила притягання тiла Землею 
i сила натягу нитки 
. Сила направлена по радiусу до центра земної кулi i, згiдно закону всесвiтнього тяжiння, дорівнює
Завдяки добовому обертанню Землi пiдвiшений до нитки тягар перебуває в рiвномiрному русi по колу радiуса r = Rз cos φ i, отже, на тягар дiє доцентрова сила mω 2 r, яка направлена до центра С кола добового обертання.
У даному разi доцентрова сила mω 2 r є геометричною сумою сил i 
(рис. 8.2).
Рис. 8. 2.
Лiнiя, вздовж якої розмiщується висок (нитка з тягарем), називається вертикаллю.
Вертикаль утворює з площиною екватора кут θ, який називається географiчною широтою того мiсця, де пiдвiшений тягар (див. рис. 8.2).
Основне рiвняння вiдносного спокою одержимо з рiвняння (8.6), якщо в ньому прийняти
vвід = 0; aвід = 0; = - m· 2(
´ 
)= 0,
що дає
+ + 
= 0. (8.10)
З рівняння (8.10) бачимо, що вiдносний рух iснує тодi, коли прикладенi сили 
i зрiвноваженi переносною силою iнерцiї .
Отже, у випадку вiдносного спокою матерiальної точки геометрична сума трьох сил - активної , пасивної i переносної сили iнерцiї - дорiвнює нулю.
Вага тiла
Формула сили ваги: 
= m 
. Вагу тiла можна вимiрювати на пружинних терезах. Це вимiрювання визначає, однак, не силу притягання тiла до Землi, а лише ту частину 
цiєї сили , яка проявляється статично, бо зважування на терезах не дає змоги виявити другу частину сили , яка проявляється в переносному прискореннi ω 2 r тiла, зумовленому добовим обертанням тiла разом із Землею.
Вага тiла, згiдно з її означенням, дорiвнює (рис. 8.3):
= - m 
. (8.11)
На полюсi доцентрова сила дорiвнює нулю i сила ваги дорiвнює силi притягання , тобто = . Вага тiла на екваторi найменша i дорiвнює Р = F- mω 2 Rз. За другим законом Ньютона = m 
, де - абсолютне прискорення тiла.
Значить
= m 
- m = m ( - ) = m 
, (8.12)
де позначено
= - . (8.13)
Абсолютне прискорення 0 можна визначити з рiвностi
γ (mM/R3 2)·(
3/R3) = m 
, (8.14)
де 
3/R3 - одиничний вектор, напрямлений вiд тiла М до центра Землi;
= γ (M/R3 2)·( 3/R3). (8.15)
Рис. 8. 3.
Значить
g 2 = (g 0 - 
)2 = g 02 - 2 g 0 + 
.
Оскiльки 
= ω 2 R3 cos φ, то
Нехтуючи пiд радикалом останнiм доданком, що має множником ω 4, i добуваючи наближено квадратний корiнь, матимемо:
g = g 0 -ω 2 R3 cos2 φ. (8.16)
Для полюса φ = π /2, g 0 = 983см/с2; ω 2 R3≈ 3см/с2, а тому формулу (8.16) можна записати так:
g = (983 -3cos2 φ) см/с2.
Однак справжнi вимiрювання показують, що
g = ( 983 -5,2cоs2 φ) см/с2.
На практицi користуються середнiм значенням g = 981 см/с2. У зв’язку з впровадженням мiжнародної системи одиниць СI введено так зване нормальне значення g, яке позначають g н; за означенням приймають g н= 9,80665 м/с2.
