2020-08-05
107
Робота - фiзична величина А, яка є кiлькiсною мiрою перетворення механiчного руху в iншi форми руху матерiї (теплоту, електрику i т. iн.).
Робота постiйної за модулем i напрямком сили на прямолiнiйному перемiщеннi дорiвнює скалярному добутку вектора сили 
та вектора перемiщення 
:
A = 
· = F·S· cos α, (9.6)
де α - кут мiж напрямком сили 
i перемiщенням .
В формулі (9.6) модулi сили F i перемiщення S завжди додатнi. Знак ”+” чи ”-” роботи А визначається знаком косинуса кута α або косинуса кута мiж напрямком сили i швидкостi 
.
Якщо напрям сили спiвпадає з напрямом перемiщення , то кут (
) = (; 
) = α = 0°, cos α = 1i A = F·S.
Якщо α = 180° (сила направлена протилежно перемiщенню), то cos α = -1 i A = - F·S.
Якщо α = 90° (сила перпендикулярна перемiщенню), то cos α= 0i А = 0.
Елементарною роботою сили називають роботу на достатньо малому перемiщеннi точки її прикладання, при якому змiною сили можна нехтувати:
δA = F cos α·dS = F cos(
) dS = F cos( 
) dS. (9.7)
Термiн ”робота” в науку було введено Г. Корiолiсом i одночасно Ж. – В. Понселе.
В Мiжнароднiй системi одиниць (СI) робота вимiрюється в Джоулях (Дж). Робота в 1Дж - це робота сили в 1Н на шляху 1м, який збiгається з напрямом сили.
Теорема про елементарну роботу рiвнодiйної:
елементарна робота рiвнодiйної дорiвнює сумi елементарних робот складових сил
(9.8)
Визначення елементарної роботи через проекцiї сили на осi координат. Елементарна робота сили пов’язана з проекцiями сили на осi декартових координат спiввiдношенням:
δA = Fxdx+Fydy+Fzdz = Xdx+Ydy+Zdz. (9.9)
В формулi (9.9) X, Y, Z (aбo Fx, Fy, Fz) - проекцiї сили на осi координат, якi визначаються не тiльки величиною, але i знаком. Величини dx, dy, dz є диференцiалами координат точки прикладання сили i можуть бути як додатними, так i вiд’ємними. В загальному випадку диференцiальний тричлен Xdx+Ydy+Zdz не є повним диференцiалом i δА не потрiбно розумiти як повний диференцiал вiд роботи А.
Робота змiнної сили на скiнченому перемiщеннi по криволiнiйнiй траєкторiї дорiвнює криволiнiйному iнтегралу вiд скалярного добутку векторiв сили i елементарного перемiщення 
, взятому вздовж дуги кривої вiд М 1 до М 2 (рис. 9.1).
(9.10)
Робота змiнної сили на скiнченному перемiщеннi по криволiнiйнiй траєкторiї визначається через проекцiї сили на осi декартових координат так:
(9.11)
|
Робота сили ваги матерiальної точки з формули (9.11), оскiльки в цьому випадку Fx = Fy = 0, Fz = - G, дорiвнює добутку ваги матерiальної точки та рiзниці рiвнiв початкового i кiнцевого положень цiєї точки.
Робота сили ваги не залежить вiд форми траєкторiї рухомої матерiальної точки:
A 12 = mg (z 1 - z 2) = mg Δ h. (9.12)
Якщо матерiальна точка наближається до земної поверхнi, то А (
) > 0, а якщо вiддаляється, то А (
) < 0. Якщо висоти початкового i кiнцевого положень рiвнi (наприклад, рух матерiальної точки по замкненому контуру), то А (
) = 0.
Силова функцiя сили тяжiння має вигляд
U =- mgz. (9.13)
Робота сили всесвiтнього тяжiння (рис. 9.2) на скiнченому перемiщеннi матерiальної точки з положення М 1 в положення М 2 дорiвнює:
А 12 = γmМ [(1 /r 2) - (1 /r 1)]. (9.14)
Силова функцiя центральної сили тяжiння дорiвнює:
U = γmM (1 /r). (9.15)
|
Робота пружної сили пр = - cx на прямолiнiйному перемiщеннi по лiнiї дiї сили з точки з абсцисою x 1 в точку з абсцисою х 2 дорiвнює:
А = - (с/ 2)(
) = (с/ 2)(
). (9.16)
Силова функцiя пружної сили:
U = - (cx 2 / 2). (9.17)
Робота пружної сили дорiвнює половинi добутку коефiцiєнта пружностi с та рiзниці квадратiв початкової i кiнцевої деформацiй пружини. 
Якщо система сил прикладена до механiчної системи, то її робота дорiвнює сумi робот всiх сил, якi можуть бути роздiленi на заданi 
i реакцiї в'язей 
або на зовнiшнi 
i внутрішні 
:
(9.18)
або
(9.19)
Цi формули можна записати в проекцiях на координатнi осi:
(9.20)
Елементарна робота внутрiшнiх сил незмiнюваної системи матерiальних точок (наприклад, абсолютно твердого тiла) дорiвнює нулю:
(9.21)
В системi матерiальних точок, що змiнюється (наприклад, пружне тiло) робота внутрiшнiх сил не дорiвнює нулю.
У випадку системи матерiальних точок робота сили ваги дорiвнює добутку сили ваги всiєї системи та рiзниці висот кiнцевого i початкового положень центра мас системи:
A = - P (z 2 C - z 1 C), (9.22)
де 
вiсь z направлена вертикально вгору.
Елементарна робота сил, прикладених до твердого тiла, обчислюється за такими формулами:
а) при поступальному русi:
(9.23)
де 
- головний вектор системи зовнiшнiх сил, 
- елементарне перемiщення будь-якої з точок твердого тiла (або його центра мас - 
);
б) при обертаннi навколо нерухомої осi:
δA = Mze ×dφ, (9.24)
де Mze - головний момент системи зовнiшнiх сил вiдносно осi обертання z, dφ - елементарне кутове перемiщення твердого тiла;
в) при плоскому русi:
δA = 
· 
+ MzOe·dφ, (9.25)
де 
- головний вектор системи зовнiшнiх сил, 
- елементарне перемiщення полюса О, MzOe - головний момент системи зовнiшнiх сил вiдносно осi z, яка проходить через полюс О перпендикулярно до площини руху, dφ - елементарне кутове перемiщення тiла навколо осi z. Полюс вибирається довiльно.
Потужнiсть N характеризує швидкiсть здiйснення роботи протягом певного часу. Вона визначається формулою:
N = dA/dt. (9.26)
Якщо сила прикладена до матерiальної точки або до абсолютно твердого тiла, що здiйснює поступальний рух, то потужнiсть сили 
дорiвнює
N = F×v, (9.27)
де v - швидкiсть матерiальної точки (твердого тiла).
Якщо момент Мz прикладений до твердого тiла, що обертається навколо нерухомої осi z з кутовою швидкiстю ω, то потужнiсть моменту дорiвнює:
N = Mzω = Mz (dφ/dt). (9.28)
Одиниця вимiрювання потужностi в системi СI – Ватт:
1Вт = 1Дж/с.
Обчислення суми робот сил, прикладених до матерiальної точки або до системи матерiальних точок, можна виконувати в такiй послiдовностi:
1) показати на рисунку сили, якi прикладенi до матерiальної точки або системи точок;
2) показати елементарнi перемiщення точок системи;
3) обчислити елементарну роботу сил, тобто суму робот всiх сил на елементарних перемiщеннях точок системи;
4) обчислити суму робот на скiнчених перемiщеннях.
