Прямий центральний удар двох тіл

 

Удар двох тіл, при якому спільна нормаль до поверхонь тіл в точці дотику проходить через їх центри мас, а швидкості центрів мас тіл на початку удару направлені по цій спільній нормалі, називається прямим центральним ударом.

Розглянемо прямий центральний удар двох тіл з масами m ₁ і m ₂, що рухаються поступально (рис. 20.3).

Позначимо швидкості центрів мас тіл до удару через  (рис. 20.3, а), а в кінці удару - через (рис. 20.3, б).

 Якщо друге тіло знаходиться попереду першого і , то перше тіло доганяє друге тіло і відбувається удар.

 Задача про прямий центральний удар двох тіл полягає в тому, щоб, знаючи маси тіл, швидкості центрів мас тіл на початку удару і коефіцієнт відновлення, визначити, по-перше, швидкості центрів мас тіл в кінці удару і, по-друге, ударний імпульс. Для розв’язання цієї задачі застосовуємо теорему про зміну кількості руху системи двох тіл:

               (20.24)

 

Рис. 20. 3.

 

Проектуючи обидві частини цього векторного рівняння на вісь С ₁ x, одержимо

        (20.25)

В цьому рівнянні дві невідомі величини:  і . Коефіцієнт відновлення при прямому центральному ударі визначається як відношення модулів відносних швидкостей тіл в кінці і на початку удару:

         (20.26)

де  і .

 

Розв’язуючи систему рівнянь (20.25) і (20.26), одержимо

        (20.27)

Для визначення ударних імпульсів  і () скористаємось теоремою про зміну кількості руху тільки для одного з тіл:

         (20.28)

звідки

. (20.29)

Якщо друге тіло до удару було нерухомим, то v _{2 x} =0 і

     (20.30)

Якщо тіло ударяється об нерухому поверхню, то v _{2 x} =0, m ₂=∞ і

Розглянемо окремі випадки:

1) абсолютно непружний удар (k =0). В цьому випадку

             (20.31)

Отже, після непружного прямого центрального удару тіла починають рухатись разом, як одне ціле. Ударні імпульси дорівнюють

       (20.32)

2) абсолютно пружний удар (k =1). В цьому випадку

            (20.33)

          (20.34)

Якщо, m ₁ =m ₂ =m, то за цими формулами a тобто при абсолютно пружному ударі тіла однакових мас обмінюються швидкостями.

Якщо, маса тіла 2 така велика, що можна знехтувати відношенням m ₁ /m ₂ порівняно з одиницею, а швидкість другого тіла до удару v _{2 x} =0, то

(20.35)

 

Отже, внаслідок удару тіло малої маси m ₁ втратить дуже малу частину своєї швидкості і відскочить від нерухомого тіла великої маси m ₂ зі швидкістю  , що близька до швидкості  до удару. Важке нерухоме тіло масою m ₂ одержить дуже малу швидкість, близьку до нуля.

Цим можна пояснити, чому в атомних реакторах в якості сповільнювачів використовують речовини з малою атомною вагою (графіт, важка вода). При сповільненні швидких нейтронів треба “проскочити” небезпечну “резонансну” швидкість нейтронів, при якій вони сильно поглинаються, вибуваючи з реакції. Це неможливо зробити, коли сповільнювачами є елементи з важкими ядрами, бо тоді сповільнення нейтронів відбувається дуже малими порціями і резонансна швидкість буде обов’язково досягнена, а не “проскочена”.