Якщо удар не абсолютно пружний, то тіла, що співударяються, не відновлюють повністю свою форму в кінці удару. Отже, частина кінетичної енергії, яку мали тіла на початку удару, витрачається на залишкову деформацію, а також на нагрівання тіл. Обчислимо величину кінетичної енергії, яка втрачається при прямому центральному ударі двох тіл, вважаючи, що цей удар не є абсолютно пружним.
Вважаючи, що тіла рухаються поступально, запишемо кінетичну енергію системи на початку удару
(20.36)
і в кінці удару
(20.37)
Отже, втрата кінетичної енергії при ударі дорівнює
(20.38)
Запишемо рівняння, що виражає закон збереження кількості руху:
(20.39)
Коефіцієнт відновлення
(20.40)
Врахувавши рівняння (20.39) і (20.40), з рівняння (20.38) одержимо
(20.41)
Рівняння (20.41) виражає таку теорему:
втрачена при ударі кінетична енергія дорівнює - кратній кінетичній енергії втрачених швидкостей.
Справді, ліва частина рівняння (20.41) - це різниця значень суми кінетичних енергій тіл до і після удару, а в правій частині стоять вирази, які за своєю структурою збігаються зі значеннями кінетичних енергій для тих швидкостей, які тіла втрачають при ударі.
|
|
Для зручності обчислень формулу (20.41) можна переписати так:
(20.42)
Якщо одне з тіл, наприклад, друге тіло, до удару нерухоме (v 2 x =0), то
. (20.43)
Якщо удар є абсолютно пружним, то k =1 і втрата кінетичної енергії при такому ударі дорівнює нулю. Отже, при абсолютно пружному ударі кінетична енергія не втрачається: кінетична енергія, втрачена за першу фазу удару, коли тіло деформується, повністю відновлюється у другій фазі удару, коли тіла повертають свою початкову форму.
З рівняння (20.41) витікає, що найбільша втрата кінетичної енергії буде при абсолютно непружному ударі (k =0), коли тіла в кінці удару не відновлюють свою початкову форму. В цьому випадку і рівність (20.41), що виражає теорему Карно, набирає такого вигляду:
(20.44)
тобто кінетична енергія, втрачена системою при прямому центральному абсолютно непружному ударі, дорівнює тій кінетичній енергії, яку мала б система, якби тіла рухались з втраченими швидкостями.
Приймаючи k =0, з рівняння (20.42) одержимо формулу для втраченої кінетичної енергії при абсолютно непружному ударі в такій формі:
(20.45)
Розглянемо випадок, коли v 2 x =0. В цьому разі
(20.46)
(20.47)
(20.48)
Припустимо, що m 2>> m 1 і (m 2 /m 1 )→∞ тоді 1/(1 + m 2 /m 1) →0. При цьому з формули (20.48) витікає, що Т ≈0, тобто майже вся кінетична енергія при ударі втрачається і тіла після удару залишаються практично нерухомими. Майже вся кінетична енергія при цьому витрачається на деформацію тіл, що співударяються.
|
|
На практиці такий результат використовується при куванні металів. В цьому випадку втрачена кінетична енергія Δ Т= іде на деформацію викуваної деталі. Енергія Т, що зберігається після удару і визначається швидкостями, які будуть мати після удару молот і наковальня, є некорисною.
Коефіцієнт корисної дії η молота дорівнює
(20.49)
З цієї формули видно, що для одержання великого значення коефіцієнта корисної дії маса молота m 1 повинна бути малою величиною в порівнянні з масою m 2 наковальні і деталі, що кується.
Припустимо тепер, що маса m 1 тіла, що ударяє, значно більше маси m 2 тіла, що приймає удар, тоді дріб m 2 /m 1 є величиною малою в порівнянні з одиницею і Т 0 =T. Таким чином, хоч удар і є абсолютно непружним, кінетична енергія після удару зберігається. Отже, не відбувається і деформації тіл, що співударяються. На практиці такий результат необхідний при забиванні паль, цвяхів і т.д. В цьому випадку корисним є запас кінетичної енергії, який залишається в системі і не переходить в інші форми енергії. Цей запас корисно витрачається на переміщення тіл після удару і на подолання опору. При цьому втрачена корисна енергія Δ T, що йде на деформацію палі, відповідає некорисній роботі. Коефіцієнт корисної дії в цьому випадку дорівнює
(20.50)
Зауваження. Для закріплення матеріалу §20 (пунктів 20.4 і 20.5) необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М., Наука, 1981 (1986)”:
1) № 44.2, 44.3, 44.4, 44.15, 44.22;
2) № 44.5 – 44.7, 44.9, 44.10, 44.11, 44.16, 44.19, 44.21;
3) № 44.13, 44.17, 44.18.
Рекомендується розв’язати також задачі № 16.4 – 16.17, 16.20, 16.27, 16.32 зі збірника “Сборник задач по теоретической механике /Под ред. К. С. Колесникова. – М., Наука, 1989”.