Деление окружности на равные части

Задача деления окружности имеет широкие практические приложения в архитектуре, дизайне и декоративно-прикладном искусстве, не говоря уже о применении в технике (разбивка цилиндрических колонн каннелюрами, разметка поверхности сосудов для нанесения ритмического декоративного узора, расчёт зубчатых колёс и др.).

Задача 1. Разделить окружность пополам (рис. 11).

Всякий диаметр делит окружность пополам.

Задача 2. Разделить окружность на три равные части (рис. 12).

1. Из произвольной т. Е проводим дугу радиуса R равного радиусу

окружности и, находим точки А и С её пересечения с окружностью.

2. Радиусом R'=АС проводим дугу из т. С и намечаем на окружности т. В.

Дуги АВ=ВС=СА=1 / 3 k.

Задача 3. Два взаимно-перпендикулярных диаметра делят окружность на 4 равные части (рис. 13).

Рис. 11 Рис. 12 Рис. 13

Задача 4. Разделить окружность на 5 равных частей (рис. 14).

1. Строим два взаимно-перпендикулярных полудиаметра ТО ^ NО.

2. Делим полудиаметр ОТ пополам точкой К: ОК=КТ.

3. Соединяем тт. К и N прямой и на ней дугой радиуса R'=ОК намечаем т. Е.

4. Из т. N проводим дугу радиуса R'' = NE и намечаем ею на окружности тт. А

и С; между ними заключена 1 / 5 часть заданной окружности.

Задача 5. Разделить окружность k на 6 равных частей (рис. 15).

1. Из произвольной т. 1 окружности радиуса R проводим дугу того же

радиуса и с её помощью намечаем на окружности тт. 2 и 6. Дуга,

заключённая между точками 1 и 2 или 1 и 6 равна 1 / 6 окружности.

Нахождение остальных точек понятно из чертежа.

Задача 6. Разделить окружность на 7 равных частей (рис. 16).

1. Из произвольной т. К окружности проводим дугу ВК=R.

2. Хорду ВЕ делим пополам точкой Р.

3. Из т. В проводим дугу радиуса R' и находим т. С на окружности.

Полученная дуга ВС равна 1 / 7 окружности.

Рис. 14 Рис. 15 Рис. 16

Задача 7. Разделить окружность на n равных частей и пусть n = 9. (рис. 17).

1. Делим диаметр АВ на 9 равных частей.

2. Из тт. А и В, как из центров, проводим дуги радиуса АВ до их взаимного

пересечения в т. М.

3. Проводим из т. М лучи через чётные (или нечётные) точки деления

диаметра АВ.

4. Пересечение с окружностью дают искомые точки деления: дуга,

заключённая между точками А и С есть 1/9 часть окружности.

Эту же задачу можно решить, используя другой прием (рис. 18):

1. Делим радиус ОЕ на 6 равных частей.

2. Из т. Е как из центра проводим дугу m радиусом R^' равным 5 / 6 ОЕ.

3. Дуга m пересечёт окружность k в т. F; дуга EF равна 1/9 окружности.

Рис. 17 Рис. 18

1.6. Построение правильных многоугольников по заданной стороне

Задача деления окружности чаще всего используется для построения правильных многоугольников, которые широко используются в процессе архитектурного проектирования и художественного конструирования.

Практический интерес представляет решение задачи на построение правильных многоугольников по известной их стороне. Рассмотрим общий способ решения данной задачи.

Задача. Построить последовательный ряд правильных многоугольников по заданной их стороне АВ (рис. 19).

1. Из тт. А и В радиусом m описываем две дуги, которые пересекаются в т. С

(АВС – равносторонний треугольник).

2. Строим перпендикуляры из тт. А и В и в их пересечении с проведёнными

дугами находим тт. Е и К (АЕКВ – квадрат).

3. Диагональ ВЕ квадрата в пересечении с осью i даёт центр 1 окружности, в

которой сторона m уложится четыре раза.

4. Отрезок 1-3 делим пополам точкой 2.

5. Отрезок 2-3 откладываем последовательно от т. 3 по оси i, отмечая

последовательно точки 4,5,6,…n. Тогда полученные точки 1, 2, 3, 4, 5,…n

– центры окружностей, в которые впишутся соответственно правильные

квадрат, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник и т.д.