Практически для построения прямоугольной аксонометрии окружности, расположенной в координатной плоскости (или плоскости уровня), строят овалы, условно аппроксимирующие эллипсы в прямоугольной аксонометрии. Работа с ними намного упрощает (и ускоряет!) процесс построения аксонометрических изображений, содержащих круглые формы (рис. 39).
a) b)
Рис. 39
Задача 1. Построить прямоугольную изометрию окружности k радиуса R, расположенной в горизонтальной плоскости π'2 (рис. 40 a,b).
1. Строим окружность с центром в т. О', через которую проводим аксонометрические оси x', y ' и z' (рис. 40 a).
a) b)
Рис. 40
2. Отмечаем точки пересечения О1 и О2 окружности и оси z' (рис. 40 b).
3. Из т. Е пересечения оси y' и данной окружности проводим дугу радиуса R'= ЕО1 до её пересечения с горизонтальной прямой h в т. О3.
4. Находим т. О4, симметричную О3.
Дальнейшее построение четырехцентрового овала с точками стыка 1, 2,
3 и 4 понятно из рис. 40 b.
Следует заметить, что ориентация овалов в разных аксонометрических плоскостях (или плоскостях, параллельных им), а также соотношения величин их осей, зависит от направления стороны треугольника следов, расположенной в соответствующей аксонометрической плоскости.
|
|
Например, если овал на рис. 40 b располагать на аксонометрических плоскостях в изометрии (рис. 41), то:
· большая ось h овала, расположенного в плоскости π'1 будет параллельна следу А'В' треугольника следов А'В'С' (рис. 41);
· большая ось h овала, расположенного в плоскости π'2 будет параллельна следу А'С';
· большая ось h овала, расположенного в плоскости π'3 будет параллельна
следу В' С'.
Рис. 41
При этом овалы в изометрии, лежащие в разных аксонометрических плоскостях равны при равенстве большой оси овала 1,22 d, а малой – 0,58 d, где d – диаметр исходной окружности.
В других видах аксонометрии соотношения величин осей овалов в разных аксонометрических плоскостях, могут различаться.
Задача 2. Построить прямоугольную диметрию окружности k, радиуса R, лежащей в горизонтальной плоскости π'2 (рис. 42).
1. Строим окружность заданного радиуса R с центром в т. О'.
2. От тт. А и В её пересечения с осью z' откладываем вверх и вниз отрезки
АО1= ВО2 =R.
3. Находим тт. 1 и 2 пересечения заданной окружности с осью х'.
4. Соединяем тт. 1 и 2 с центрами О1 и О2.
5. В пересечении горизонтальной прямой m É О' с прямыми О11 и О22
находим ещё два центра – О3 и О4.
Применяя их для построения дуг, как показано на рис. 37, строим овал,
|
|
большая и малая оси которого с достаточным приближением равны
соответственно 2.12R и 0.7R.
Рис. 42 Рис. 43
На рис. 43 для построения прямоугольной диметрии окружности того же радиуса R, лежащей во фронтальной плоскости π'1, через концы 1, 2, 3 и 4 (точки стыка) сопряжённых диаметров, параллельных осям х' и z' проводим горизонтальные прямые, которые пересекают взаимно-перпендикулярные оси МN и LК овала в четырёх центрах – О1, О2, О3 и О4. Окончательное проведение четырёхцентровой кривой несложно уяснить из чертежа.
Следует иметь в виду, что ось LК овала в плоскости π'2 параллельна диметрической оси y' и равна 1,9R, другая ось MN равна 2,12R. Обе величины с достаточным приближением соответствуют осям эллипса, лежащего в плоскости π'1.
Дополнение. Построение углов между осями в прямоугольной диметрии в «приведённом» виде (рис. 44 а) выполняется следующим образом (рис. 44 b):
1. На оси z' от заданного начала О' откладываем отрезок О'К.
2. На отрезке О'К как на диаметре строим полуокружность радиуса R.
3. Из т. К проводим дугу радиуса R'= КN=3 / 4 О'К.
4. На пересечении двух дуг находим т. L, которая вместе, с т. О' определит ось у'.
5. Из т. L проведём полуокружность радиуса R'', которая пересечёт прямую КL в т. Е (КL=LЕ).
6. Искомая ось х' проходит через тт. ЕО'.
а) b)
Рис. 44
3.3. Построение циркульных спиралей
Точка, которая вращается в плоскости около некоторого центра и удаляется от него по определённому закону, описывает траекторию, представляющую собою спираль. Спирали относятся к односвязным линиям, не имеющим никаких разветвлений и простирающимся до бесконечности. Спирали широко используются в архитектурном декоре и имеют долгую художественную и сакральную традицию.
Циркульная спиральная кривая, состоящая из последовательных сопряжённых дуг, называется завитком.
Задача 1. Построить завиток по двум центрам 1 и 2 – концам заданного отрезка (рис. 45).
1. Из центра 1 проводим полуокружность 1'-2 радиуса R1, равного величине исходного отрезка 1-2.
Рис. 45 Рис. 46
2. Из центра 2 проводим полуокружность 1'-2' радиуса R2.
3. Из центра 1 проводим полуокружность 2'-1' радиуса R3.
Дальнейшие построения аналогичны и их легко понять из чертежа.
Задача 2. Построить завиток по трём центрам 1, 2 и 3 – вершинам равностороннего треугольника (рис. 46).
1. Из центра 1 проводим дугу 3-1', равную трети окружности радиуса R1.
2. Из центра 2 проводим дугу 1'-2', равную трети окружности радиуса R2.
3. Из центра 3 проводим дугу 2'-3', равную трети окружности радиуса R3.
Дальнейшие построения несложно продолжить аналогичным образом.
Задача 3. Построить завиток по четырём центрам 1, 2, 3 и 4 – вершинам квадрата (рис. 47).
Рис. 47 Рис. 48
1. Из центра 1 проводим дугу 4-1' радиуса R1, равного стороне исходного квадрата.
2. Следующую дугу 1'-2' радиуса R2 проводим из центра 2.
3. Очередную дугу 2'-3' проводим из центра 3 радиусом R3 .
Далее построения выполняются сходным образом, при этом на каждом этапе центры сопряжения сменяются последовательно (в данном случае, по часовой стрелке).
Построение шестицентрового завитка предлагается разобрать самостоятельно (рис. 48).
|
|
Задача 4. Построить завиток по заданному диаметру 4-4' окружности с известным центром О (рис. 49).
Рис. 49
1. Поделим заданный диаметр 4-4' на n равных частей по n / 2 на радиус.
2. Тогда при n=8 радиусом R1=1-4' из точки 1 проводим
полуокружность 4'–А.
3. Радиусом R2 =1'-А из точки 1' проводим полуокружность АD.
4. Далее из центра 2 проводим полуокружность DB радиусом R3 = D-2.
Последующие построения проводятся аналогичным образом.
Задача 5. Построить завиток по заданному отрезку ОА, где О – центр завитка (рис. 50 a, b).
1. Делим отрезок ОА на n равных частей, например на n=9.
2. Около центра О описываем окружность радиуса, равного 1 / 9 ОА,
и вписываем в неё квадрат 1 - 2 - 3 - 4 (обход вершин против часовой
стрелки).
a) b)
Рис. 50
3. Соединяем середины сторон полученного квадрата и, таким образом,
находим ещё один квадрат, вписанный в предыдущий, в который, в свою очередь, аналогичным образом вписываем очередной квадрат 5 - 6 - 7 - 8 (обход вершин также против часовой стрелки) и т.д. (рис. 50 b).
4. Строим дугу 9-А радиуса R1= 1 - 9 из центра 1; т. А лежит на продолжении
стороны квадрата 1 - 2.
5. Строим дугу АВ радиуса R2=2 - А, причем т. В лежит на продолжении
стороны 2-3 квадрата. Далее построения ведутся аналогичным образом.
Точку Е стыка двух смежных дуг радиусов R4 и R5 находим на продолжении отрезка 4 - 5.
Спираль можно строить также на основе золотого прямоугольника (рис. 51), в котором отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции, т.е.
АВ / ВС = 1+
В этом прямоугольнике его стороны АВ и DC делятся точками О и Т1 в отношении 5 / 3. В результате прямоугольник оказывается разделённым на квадрат АОТ1 D и прямоугольник ОВСТ1 стороны ОТ1 и ВС которого, в свою очередь, так же делятся в отношении 5 / 3. Очередной и последующие прямоугольники продолжают делить аналогичным образом.
|
|
Рис. 51
В каждом квадрате, полученном таким образом, можно последовательно провести дуги окружностей из центров О, О1, О2, О3, О4, О5, …, которые образуют завиток, построение которого традиция приписывает Архимеду.
3.4. Дополнение: сопряжения, выполняемые посредством коник
Кривые 2-го порядка (коники) широко применяются в технике строительстве и архитектуре. Форма коники и её положение на плоскости определяются заданием пяти параметров, например, пятью касательными, никакие три из которых, не должны пересекаться в одной точке или пятью точками, никакие три из которых не должны лежать на одной прямой. В число пяти параметров может входить любая комбинация из касательных и точек, отвечающих указанным выше условиям.
При задании коники пятью параметрами вид кривой (эллипс, парабола или гипербола) предусмотреть заранее трудно. Поэтому кривую удобнее задавать двумя касательными к ней с точками касания на них и графическим или инженерным дискриминантом.
Пусть касательные ta и tb касаются кривой в тт. А и В и пересекаются в т. М (рис. 52).
Найдём середину Т хорды АВ и проведём медиану МТ. Выберем на медиане некоторую точку N и зададим тем самым значение дискриминанта. Тогда коника может считаться заданной.
Дискриминантом f коники называется отношение отрезков NM к ТМ, т.е. f= NM/ ТМ. При этом, если f < 0,5, то кривая будет эллипсом, если f = 0,5 – параболой, а если f > 0,5 – гиперболой.
Задача 1. Построить некоторое множество текущих точек кривой k, которая определена парой касательных с точками А и В на них и дискриминантом f= NM/ ТМ (рис. 53).
Поскольку при подсчёте величина дискриминанта окажется, в нашем случае, равной f = 0,42, то искомой кривой будет эллипс. Для построения эллипса необходимо отыскать некоторое множество его текущих точек в следующем порядке:
1. Проводим прямые a =А N и b = В N.
2. Через т. М проводим произвольную прямую l, которая пересечёт прямые
a и b соответственно в точках 1 и 2.
3. Точку Е кривой находим на пересечении прямых с (А-2) и d (В-1).
4. Пучок прямых li c центром в т. М позволяет найти сколько угодно
точек Еi кривой при аналогичных построениях.
Рис. 52 Рис. 53
Задача 2. Построить арочную кривую, которая определена парой взаимно-параллельных касательных ta и tb с точками касания А и В на них и точкой N подъёма (рис. 54).
Поскольку дискриминант f= N / Т , при несобственной точке будет f < 0,5, то арочный свод – эллиптическая кривая. Таким образом АВ – большая ось эллипса, TN – его малая полуось и нахождение его текущих точек окажется аналогичным предыдущей задаче.
1. Проводим прямые a =А N и b = В N.
2. Между А и В проводим произвольно прямую l ║ ТN, которая пересечёт
прямые a и b соответственно в точках 1 и 2.
Рис. 54
3. Точку Е кривой находим на пересечении прямых А-2 и В-1.
4. Переместив прямую l в положение l', аналогичными построениями
найдём ещё одну текущую т. Е' и т.д. Пучок параллельных прямых li,
проходящих через несобственную т. позволяет найти сколько
угодно точек Еi кривой.