III. Сокращение обыкновенных дробей

Изучение сокращения дробей следует начать с рассмотрения рисунка

На этом рисунке закрашено  круга. Изменим рисунок – разделим каждую долю пополам:

Величина закрашенной части круга не изменилась, но теперь видно, что её можно обозначить и другой дробью: .

При этом обратите внимание — общее количество долей увеличилось в два раза, но и количество выбранных долей также увеличилось в два раза:

Можно было бы на первом рисунке разделить каждую долю не на две, а на три равные части, или на четыре, или на пять,... И каждый раз одна и та же величина закрашенной части обозначалась бы новой дробью:

Этот пример иллюстрирует основное свойство обыкновенной дроби: «Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить на одно и то же натуральное число, величина дроби не изменится».

Заполним пропуск в записи:

Чтобы из знаменателя 3 получить знаменатель 12, нужно умножить его на 4. Значит, чтобы величина дроби не изменилась, нужно и числитель также умножить на 4:

Говорят, что дробь привели к новому знаменателю, а число 4 при этом называют дополнительным множителем.

Рассмотрим полученное равенство с другой точки зрения:

Числитель и знаменатель дроби разделили на одно и то же число (4), при этом величина дроби не изменилась. В этом случае говорят, что дробь сократили на 4. Нам удалось сократить дробь ,потому что её числитель и знаменатель делились на одно и то же натуральное число, то есть имели общий делитель (не равный 1). Однако так бывает не всегда.

Дробь  сократить нельзя, так как её числитель и знаменатель не имеют общего натурального делителя, кроме 1 (то есть являются взаимно простыми числами). Такие обыкновенные дроби называются несократимыми.