2020-08-05
126
Далее изучают действия над рациональными числами. Умножение и деление рациональных чисел не вызывает затруднения у учеников. Рассмотрим методику сложения обыкновенных дробей.
Решим задачу.
Имеются три одинаковых кувшина. Первый заполнен водой на 
второй — на 
третий пустой. Всю воду из первых двух кувшинов хотят перелить в третий. Поместится ли туда вода? Если да, то какую часть кувшина она займёт?
На первый вопрос ответить нетрудно: вода поместится. Действительно: второй кувшин заполнен наполовину, а в первом воды меньше половины.
Чтобы ответить на второй вопрос, нужно сложить обыкновенные дроби:
Но только как это сделать? Подсказку можно найти на следующем рисунке:
Прокомментируем этот рисунок с математической точки зрения.
Каждый кувшин разделили на шесть долей — каждую дробь привели к новому знаменателю 6. В результате дроби стало очень легко складывать:
Ответ: вода из первых двух кувшинов поместится в третий и займёт 
его объёма.
Решая эту задачу, мы складывали обыкновенные дроби. Опишем в виде общих правил то, как мы действовали.
|
|
|
Сумма обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями равна обыкновенной дроби с таким же знаменателем, числитель которой равен сумме числителей слагаемых.
Чтобы сложить обыкновенные дроби с разными знаменателями, нужно:
1) привести их к общему знаменателю. Для этого:
• выбрать общий знаменатель (лучше искать наименьший общий знаменатель, который равен наименьшему общему кратному исходных знаменателей);
• найти дополнительный множитель для каждой дроби, разделив новый знаменатель на старый;
• умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель;
2) выполнить сложение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.
Найдём наименьший общий знаменатель.
Пример 2.
Один из знаменателей делится на другой, поэтому наименьший общий знаменатель равен большему из знаменателей, то есть 15.
Пример 3.
Знаменатели дробей взаимно просты, поэтому их наименьшее общее кратное равно их произведению, то есть наименьший общий знаменатель равен 4 15 = 60.
По таким же правилам выполняется вычитание обыкновенных дробей:
1) Разность двух обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями равна дроби с таким же знаменателем, числитель которой равен разности числителей этих дробей.
2) Чтобы вычесть обыкновенные дроби с разными знаменателями, нужно:
• привести их к общему знаменателю;
• выполнить вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример 4.
Пример 5.
Пример 6.
Приведём все дроби к наименьшему общему знаменателю:
|
|
|
Однако значение этого выражения можно было бы найти другим способом, воспользовавшись тем, что для любых рациональных чисел выполняются переместительный и сочетательный законы сложения. Выберем пары дробей, которые удобнее складывать:
Таким образом, для любых рациональных чисел верны переместительный и сочетательный законы сложения.
