Системы массового обслуживания, уравнения Эрланга

Любую торговую точку, склад, торговую сеть района, города можно рассмотреть как СМО. СМО как мат. модель является отражением объекта моделирования.

СМО содержит 4 основных элемента:

1) входной поток заявок на обслуживание;

2) очередь требований на обслуживание (любое скопление ожидающих объектов);

Дисциплина очереди - порядок, в соответствии с кот. клиенты покидают очередь, поступая в обслуживание.

3) узел обслуживания поступающих во входном потоке заявок;

Канал обслуживания – тех. ср-ва или произв. персонал, выполняющие ф-ции обслуж-ния.

4) выходной поток обслуживания заявок.

Появление заявок во входном и в выходном потоке происходит в случайные моменты времени. СМО находится под воздействием случайных событий: появление в СМО очередной заявки и обслуживание одной из заявок в системе. В результате совместного воздействия этих потоков случайных событий состояние СМО в любой момент времени является случайным. Целью эк. анализа СМО является оценка закономерных результатов взаимодействия случайных процессов, воздействующих на нее.

Цель теории СМО – анализ процесса образования очередей, взаимосвязи между их осн. хар-ками и выявление наилучших путей управления ими.

Состояние системы – результат взаимодействия входящего потока требований и механизма обслуживания при определенной дисциплине очереди.

Классификация:

- по числу обслуживающих каналов: одноканальные, многоканальные;

- по хар-ру случ. процесса: марковские (вход. и выход. потоки имеют пуассон. распред-ние) и немарковские с-мы;

- система с отказами (поступающие требования отказываются в обслуживании),

- система с ожиданием (обслуживаются все поступающие требования): с огранич. и неогранич. ожиданием;

- замкнутые (обслуженные требования вновь возвращаются в систему),

- разомкнутые (источник требований нах-ся вне с-мы и генерирует неогран. поток тр-й).

- по расположению каналов с-мы: СМО с параллельными и с последовательными каналами (с параллел. ка­налами входной поток заявок на обслуживание является общим, заявки в очереди могут обслуживаться любым сво­бодным каналом; с последов. расположением каналов каж­дый канал может рассматр-ся как отдельная одноканал. СМО или фаза обслуживания).

- по установлен. дисциплине очереди: системы с приоритетами и без приоритетов.

- по кол-ву этапов обслуживания: однофазные (каналы обслуж-ния однородны, т.е. выполняют одну и ту же операцию обслуж-ния) и многофазные с-мы.

Задача Эрланга:

Пусть в n-канальную СМО поступает простейший поток требований с интенсивностью l. Время обслуж-ния требований (для одного канала) экспоненциальное, со ср. знач. tобс.

Если требование поступает в с-му в момент, когда все n каналов заняты, то оно получает отказ (покидает с-му не обслуженным). Если же в момент поступления требования имеется хотя бы один свобод. канал, то оно приним-ся к обслуж-нию.

Найти предельные вероятности состояний системы и пок-ли ее эффективности.

Переходы из состояния Sk в состояние Sk+1 происходят под воздействием входящего потока заявок с интенсивностью λ. Переход из состояния Sk в состояние Sk-1 происходит под воздействием суммарного потока обслуживаний k каналами; интенсивность суммарного потока равна сумме интенсивностей слагаемых потоков.

 

Системы м.б. детерминироваными и стохастическими. Детермин – состояния контролируемы. Стохастическая - система, состояния которой зависят от контролируемых и от неконтролируемых воздействий или если в ней самой находится источник случайности. Примеры - аэропорты, магазины, предприятия бытового обслуживания, системы связи, колл-центры, погрузочно-разгрузочные комплексы

С-ма масс обслуж-я (СМО) - система, в которую в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

Каналы - кассиры, операторы, продавцы, линии связи, железнодорожные пути и т.д.

Основн элементы СМО: 1) входящий поток заявок; 2) очередь; 3) каналы обслуживания; 4) выход. поток обслужен.заявок.

Характеристики эффект - ти функцион-я СМО:

1)Показатели эффективности использования СМО:

1) Абсол.пропуск. способность— сред. число заявок, кот. может обслужить СМО в единицу времени. 2) Относит. пропускная спос-ть— отношение средн. числа заявок, обслуживаемых СМО в ед-цу времени, к среднему числу поступивших заявок за это же время. Коэфф-т использ-я СМО — средняя доля времени, в течение которого СМО занята обслуживанием заявок.

2)Показатели качества обслуживания заявок:1) Среднее время ожидания заявки в очереди. 2) Среднее время пребывания заявки в СМО.3) Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания.4) Вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию. 5) Закон распределения времени ожидания заявки в очереди. 6) Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.7) Среднее число заявок, находящихся в очереди.8) Среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п.